Номер 604, страница 122 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$\alpha = 45^\circ$

$v_0 = 12 \frac{м}{с}$

$\mu = 0.8$

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Движение шайбы можно разделить на два этапа: подъем вверх по наклонной плоскости и спуск вниз к исходной точке. Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона и кинематическими формулами.

1. Движение шайбы вверх.

Направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вверх. На шайбу действуют три силы: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$ и сила трения скольжения $F_{тр}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат (ось $Oy$ перпендикулярна наклонной плоскости):

На ось $Oy$: $N - mg\cos\alpha = 0 \Rightarrow N = mg\cos\alpha$

Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg\cos\alpha$. При движении вверх она направлена вниз, против скорости.

На ось $Ox$: $ma_1 = -mg\sin\alpha - F_{тр} = -mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha$.

Отсюда находим ускорение шайбы при подъеме:

$a_1 = -g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

Шайба поднимается на максимальное расстояние $S$, где ее скорость становится равной нулю. Используем формулу для равноускоренного движения:

$0^2 - v_0^2 = 2a_1S$

Выразим расстояние $S$:

$S = \frac{-v_0^2}{2a_1} = \frac{-v_0^2}{-2g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)} = \frac{v_0^2}{2g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}$

2. Движение шайбы вниз.

Прежде всего, проверим, начнет ли шайба соскальзывать вниз. Для этого необходимо, чтобы проекция силы тяжести на наклонную плоскость была больше силы трения покоя (и скольжения):

$mg\sin\alpha > F_{тр} \Rightarrow mg\sin\alpha > \mu mg\cos\alpha \Rightarrow \tan\alpha > \mu$

Подставим значения: $\tan(45^\circ) = 1$, $\mu = 0.8$. Так как $1 > 0.8$, условие выполняется, и шайба соскользнет вниз.

При движении вниз сила трения направлена вверх, против движения. Запишем второй закон Ньютона (направив ось $Ox$ вниз по склону):

$ma_2 = mg\sin\alpha - F_{тр} = mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha$

Ускорение при спуске:

$a_2 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

Шайба начинает движение вниз с нулевой начальной скоростью и проходит то же расстояние $S$. Найдем ее скорость $v$ в конце пути:

$v^2 - 0^2 = 2a_2S$

Подставим в это уравнение выражения для $a_2$ и $S$:

$v^2 = 2 \cdot g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) \cdot \frac{v_0^2}{2g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}$

Сократим $2g$ и получим выражение для квадрата искомой скорости:

$v^2 = v_0^2 \frac{\sin\alpha - \mu\cos\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}$

Отсюда, $v = v_0 \sqrt{\frac{\sin\alpha - \mu\cos\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}}$

3. Вычисления.

Подставим числовые значения. Для угла $\alpha = 45^\circ$ имеем $\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это позволяет значительно упростить формулу:

$v = v_0 \sqrt{\frac{\sin(45^\circ)(1 - \mu)}{\sin(45^\circ)(1 + \mu)}} = v_0 \sqrt{\frac{1 - \mu}{1 + \mu}}$

Теперь подставим значения $v_0$ и $\mu$:

$v = 12 \cdot \sqrt{\frac{1 - 0.8}{1 + 0.8}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{0.2}{1.8}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{2}{18}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{1}{9}} = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4 \, (\frac{м}{с})$

Ответ: модуль скорости движения шайбы в момент возвращения ее в исходную точку равен $4 \frac{м}{с}$.