Номер 598, страница 121 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$h = 2,5 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

$\beta = 30^\circ$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$t$ - ?

Решение:

Задача состоит из двух частей. Сначала, используя данные о равномерном движении шайбы по наклонной плоскости с углом $\beta$, мы найдем коэффициент трения скольжения $\mu$. Затем, используя этот коэффициент, мы найдем время соскальзывания шайбы с плоскости с углом $\alpha$.

1. Нахождение коэффициента трения $\mu$.

Когда шайба движется равномерно, ее ускорение равно нулю ($a=0$). Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на шайбу, равна нулю. На шайбу действуют сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$ и сила трения скольжения $F_{тр}$.

Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY перпендикулярна ей.

Проекции сил на оси координат:

На ось OY: $N - mg \cos \beta = 0 \implies N = mg \cos \beta$.

На ось OX: $mg \sin \beta - F_{тр} = 0 \implies F_{тр} = mg \sin \beta$.

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции через коэффициент трения: $F_{тр} = \mu N$.

Подставим выражения для $F_{тр}$ и $N$:

$\mu mg \cos \beta = mg \sin \beta$

Отсюда находим коэффициент трения:

$\mu = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \tan \beta$

$\mu = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

2. Нахождение времени соскальзывания $t$.

Теперь рассмотрим движение шайбы по наклонной плоскости с углом $\alpha = 60^\circ$. В этом случае движение будет равноускоренным. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на те же оси:

На ось OY: $N - mg \cos \alpha = 0 \implies N = mg \cos \alpha$.

На ось OX: $mg \sin \alpha - F_{тр} = ma$.

Сила трения: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$.

Подставляем выражение для силы трения в уравнение для оси OX:

$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$

Сокращая массу $m$, получаем выражение для ускорения $a$:

$a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$

Подставим найденное значение $\mu = \tan \beta$:

$a = g(\sin \alpha - \tan \beta \cos \alpha) = g \left( \sin \alpha - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \cos \alpha \right) = g \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \beta}$

Используя тригонометрическую формулу синуса разности, получаем:

$a = g \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta}$

Длина наклонной плоскости $L$ связана с ее высотой $h$ и углом наклона $\alpha$ соотношением: $L = \frac{h}{\sin \alpha}$.

Шайба соскальзывает из состояния покоя, поэтому начальная скорость $v_0 = 0$. Путь, пройденный при равноускоренном движении, равен $L = \frac{at^2}{2}$. Отсюда время движения:

$t = \sqrt{\frac{2L}{a}}$

Подставим выражения для $L$ и $a$:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{h}{\sin \alpha}}{g \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta}}} = \sqrt{\frac{2h \cos \beta}{g \sin \alpha \sin(\alpha - \beta)}}$

Теперь подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5 \cdot \cos 30^\circ}{10 \cdot \sin 60^\circ \cdot \sin(60^\circ - 30^\circ)}} = \sqrt{\frac{5 \cdot \cos 30^\circ}{10 \cdot \sin 60^\circ \cdot \sin 30^\circ}}$

Так как $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$t = \sqrt{\frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}} = \sqrt{\frac{5}{10 \cdot \frac{1}{2}}} = \sqrt{\frac{5}{5}} = \sqrt{1} = 1 \text{ с}$

Ответ: $1 \text{ с}$.