Номер 593, страница 120 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$h = 5,0$ м

$\alpha = 45°$

$\mu = 0,19$

$v_0 = 0$ м/с

$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи применим закон изменения механической энергии. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, работе силы трения).

$\Delta E = W_{тр}$

$(E_{к} + E_{п}) - (E_{к0} + E_{п0}) = W_{тр}$

где $E_{к0}$ и $E_{п0}$ — начальные кинетическая и потенциальная энергии кубика на вершине горки, а $E_{к}$ и $E_{п}$ — конечные кинетическая и потенциальная энергии у основания горки.

Выберем нулевой уровень потенциальной энергии у основания горки. Тогда:

Начальная кинетическая энергия $E_{к0} = \frac{1}{2}mv_0^2 = 0$, так как кубик начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$).

Начальная потенциальная энергия $E_{п0} = mgh$.

Конечная кинетическая энергия $E_{к} = \frac{1}{2}mv^2$, где $v$ — искомая скорость.

Конечная потенциальная энергия $E_{п} = 0$.

Работа силы трения $W_{тр}$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения:

$W_{тр} = -F_{тр} \cdot L$

где $L$ — длина спуска, а $F_{тр}$ — сила трения скольжения.

Сила трения равна $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости сила нормальной реакции уравновешивает проекцию силы тяжести на ось, перпендикулярную наклонной плоскости: $N = mg \cos(\alpha)$.

Таким образом, $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$.

Длину спуска $L$ найдем из прямоугольного треугольника, где высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$: $\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$, откуда $L = \frac{h}{\sin(\alpha)}$.

Подставим выражения для $F_{тр}$ и $L$ в формулу для работы силы трения:

$W_{тр} = -(\mu mg \cos(\alpha)) \cdot (\frac{h}{\sin(\alpha)}) = -\mu mgh \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -\mu mgh \cot(\alpha)$

Теперь подставим все энергии и работу трения в закон изменения энергии:

$(\frac{1}{2}mv^2 + 0) - (0 + mgh) = -\mu mgh \cot(\alpha)$

$\frac{1}{2}mv^2 - mgh = -\mu mgh \cot(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на массу $m$ и выразим скорость $v$:

$\frac{1}{2}v^2 = gh - \mu gh \cot(\alpha)$

$\frac{1}{2}v^2 = gh(1 - \mu \cot(\alpha))$

$v^2 = 2gh(1 - \mu \cot(\alpha))$

$v = \sqrt{2gh(1 - \mu \cot(\alpha))}$

Подставим числовые значения. Учитывая, что $\alpha = 45°$, имеем $\cot(45°) = 1$.

$v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5,0 \text{ м} \cdot (1 - 0,19 \cdot 1)}$

$v = \sqrt{98 \cdot (1 - 0,19)} = \sqrt{98 \cdot 0,81} = \sqrt{79,38} \approx 8,91$ м/с.

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными $h=5,0$ м и $\mu=0,19$), получаем:

Ответ: $v \approx 8,9$ м/с.