Номер 590, страница 120 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

α - угол наклона плоскости к горизонту

m - масса шайбы

g - ускорение свободного падения

μ - коэффициент трения (для пункта б)

Найти:

a - модуль ускорения шайбы

Решение:

Для решения задачи применим второй закон Ньютона. Направим ось Ox системы координат вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Oy — перпендикулярно наклонной плоскости вверх. На шайбу действуют сила тяжести $m\vec{g}$ (направлена вертикально вниз) и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ (направлена перпендикулярно плоскости). В случае б) добавляется сила трения $\vec{F}_{тр}$.

а) трением пренебречь

В отсутствие трения на шайбу действуют только сила тяжести и сила нормальной реакции опоры. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N}$.

Спроецируем это уравнение на выбранные оси координат:

Проекция на ось Oy: $N - mg \cos(\alpha) = 0$. Движение в этом направлении отсутствует, поэтому ускорение равно нулю. Отсюда получаем выражение для силы нормальной реакции: $N = mg \cos(\alpha)$.

Проекция на ось Ox: $mg \sin(\alpha) = ma$. Скатывающая сила, являющаяся проекцией силы тяжести на ось Ox, сообщает шайбе ускорение.

Из уравнения для проекции на ось Ox выражаем модуль ускорения $a$:

$a = \frac{mg \sin(\alpha)}{m} = g \sin(\alpha)$.

Ответ: $a = g \sin(\alpha)$.

б) коэффициент трения шайбы о плоскость равен μ

При наличии трения к силам, действующим на шайбу, добавляется сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$. Эта сила направлена против движения, то есть вверх вдоль наклонной плоскости. Второй закон Ньютона в векторной форме будет выглядеть так: $m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$.

Спроецируем уравнение на оси координат:

Проекция на ось Oy: $N - mg \cos(\alpha) = 0$, следовательно, $N = mg \cos(\alpha)$. Это уравнение не меняется по сравнению с предыдущим случаем.

Проекция на ось Ox: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma$. Сила трения направлена против оси Ox, поэтому ее проекция отрицательна.

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения: $F_{тр} = \mu N$. Подставим найденное ранее выражение для $N$: $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$.

Теперь подставим выражение для силы трения в уравнение для оси Ox:

$mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma$.

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения и выразим ускорение $a$:

$a = g \sin(\alpha) - \mu g \cos(\alpha) = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$.

Стоит отметить, что шайба будет соскальзывать (то есть $a > 0$) только при условии, что скатывающая сила больше силы трения, то есть $mg \sin(\alpha) > \mu mg \cos(\alpha)$, или $\tan(\alpha) > \mu$.

Ответ: $a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$.