Номер 584, страница 119 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_2 = 2m_1$

$h_2 = 30 \text{ см}$

В системе СИ:

$h_2 = 0.3 \text{ м}$

Найти:

$h_{max}$ - максимальную высоту подъема груза $m_1$

Решение:

Процесс можно разделить на два этапа.

Этап 1: Движение системы грузов до момента, когда груз $m_2$ коснется пола.

В начальный момент времени система покоится. Груз $m_2$ находится на высоте $h_2$, а груз $m_1$ — на полу (нулевая высота). Начальная механическая энергия системы (сумма кинетической и потенциальной энергий) равна:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = 0 + (m_1 g \cdot 0 + m_2 g h_2) = m_2 g h_2$

Когда груз $m_2$ опускается на высоту $h_2$ и касается пола, груз $m_1$ поднимается на ту же высоту $h_2$. В этот момент оба груза имеют одинаковую по модулю скорость $v$. Механическая энергия системы в этот момент:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \left(\frac{1}{2}m_1 v^2 + \frac{1}{2}m_2 v^2\right) + (m_1 g h_2 + m_2 g \cdot 0) = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} + m_1 g h_2$

Согласно закону сохранения механической энергии (так как трением и сопротивлением воздуха пренебрегаем):

$E_1 = E_2$

$m_2 g h_2 = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} + m_1 g h_2$

Выразим квадрат скорости $v^2$:

$\frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = m_2 g h_2 - m_1 g h_2 = (m_2 - m_1) g h_2$

$v^2 = \frac{2(m_2 - m_1)g h_2}{m_1 + m_2}$

Подставим условие $m_2 = 2m_1$:

$v^2 = \frac{2(2m_1 - m_1)g h_2}{m_1 + 2m_1} = \frac{2 m_1 g h_2}{3 m_1} = \frac{2}{3} g h_2$

Этап 2: Движение груза $m_1$ после того, как груз $m_2$ коснулся пола.

Когда груз $m_2$ касается пола, нить ослабевает, и груз $m_1$ продолжает движение вверх по инерции, как тело, брошенное вертикально вверх с высоты $h_2$ со скоростью $v$.

Начальная энергия груза $m_1$ в этом этапе (в момент, когда он находится на высоте $h_2$ и имеет скорость $v$):

$E'_1 = \frac{1}{2}m_1 v^2 + m_1 g h_2$

В точке максимального подъема $h_{max}$ скорость груза $m_1$ становится равной нулю. Его конечная энергия:

$E'_2 = m_1 g h_{max}$

По закону сохранения энергии для груза $m_1$:

$E'_1 = E'_2$

$\frac{1}{2}m_1 v^2 + m_1 g h_2 = m_1 g h_{max}$

Сократим на $m_1 g$:

$\frac{v^2}{2g} + h_2 = h_{max}$

Подставим найденное ранее выражение для $v^2$:

$h_{max} = \frac{1}{2g} \left( \frac{2}{3} g h_2 \right) + h_2 = \frac{1}{3} h_2 + h_2 = \frac{4}{3} h_2$

Теперь вычислим числовое значение:

$h_{max} = \frac{4}{3} \cdot 0.3 \text{ м} = 4 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.4 \text{ м}$

Ответ: груз массой $m_1$ поднимется на максимальную высоту 0.4 м (или 40 см).