Номер 580, страница 118 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 7$ кг
$m_2 = 11$ кг
$h = 20$ см

$h = 0.2$ м

Найти:

$t$

Решение:

Данная система представляет собой машину Атвуда. Так как масса второй гири $m_2$ больше массы первой гири $m_1$ ($11 \text{ кг} > 7 \text{ кг}$), то под действием силы тяжести вторая гиря будет опускаться, а первая — подниматься. Поскольку нить невесома и нерастяжима, а блок идеальный (легкий и без трения), обе гири будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона для каждой гири. Выберем положительное направление оси $y$ вверх.

Для гири массой $m_1$, которая движется вверх, уравнение движения в проекции на ось $y$ имеет вид:
$T - m_1g = m_1a$
где $T$ — сила натяжения нити, $g$ — ускорение свободного падения.

Для гири массой $m_2$, которая движется вниз, ускорение направлено в отрицательную сторону оси $y$, поэтому его проекция равна $-a$. Уравнение движения для нее:
$T - m_2g = m_2(-a)$ или $T - m_2g = -m_2a$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($T$ и $a$):
1) $T = m_1g + m_1a$
2) $T = m_2g - m_2a$

Приравняв правые части уравнений, найдем ускорение $a$:
$m_1g + m_1a = m_2g - m_2a$
$m_1a + m_2a = m_2g - m_1g$
$a(m_1 + m_2) = g(m_2 - m_1)$
$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g$

Подставим числовые значения. В школьных задачах, если не указано иное, ускорение свободного падения часто принимают равным $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.
$a = \frac{11 \text{ кг} - 7 \text{ кг}}{11 \text{ кг} + 7 \text{ кг}} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{4}{18} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{2}{9} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{20}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Гири начинают движение с одной высоты. По условию, гиря $m_1$ должна оказаться на $h = 20$ см выше гири $m_2$. Это произойдет, когда гиря $m_1$ поднимется на некоторое расстояние $s$, а гиря $m_2$ опустится на такое же расстояние $s$. Таким образом, разность их высот составит $h = s + s = 2s$.
Отсюда, расстояние, которое пройдет каждая гиря, равно:
$s = \frac{h}{2} = \frac{0.2 \text{ м}}{2} = 0.1 \text{ м}$

Движение гирь является равноускоренным и начинается из состояния покоя, поэтому начальная скорость $v_0 = 0$. Воспользуемся формулой для пути при равноускоренном движении:
$s = v_0 t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы время $t$:
$t^2 = \frac{2s}{a}$
$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

Подставим в это выражение наши значения $s$ и $a$:
$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.1 \text{ м}}{\frac{20}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} = \sqrt{\frac{0.2}{\frac{20}{9}} \text{ с}^2} = \sqrt{\frac{0.2 \cdot 9}{20} \text{ с}^2} = \sqrt{\frac{1.8}{20} \text{ с}^2} = \sqrt{0.09 \text{ с}^2} = 0.3 \text{ с}$

Ответ: 0.3 с.