Номер 576, страница 117 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первого тела: $m_1$

Масса второго тела: $m_2$

Сила, приложенная к первому телу: $F$

Угол приложения силы к горизонту: $\alpha$

Коэффициент трения: $\mu$

Найти:

Модуль силы натяжения нити: $T$

Решение:

Для решения задачи применим второй закон Ньютона для каждого из тел. Выберем систему координат: ось $Ox$ направим горизонтально в сторону движения, ось $Oy$ — вертикально вверх. Поскольку нить невесома и нерастяжима, оба тела движутся с одинаковым ускорением $a$, и сила натяжения нити $T$ одинакова по модулю для обоих тел.

Рассмотрим силы, действующие на второе тело (массой $m_2$):

• Сила тяжести $m_2g$, направленная вертикально вниз.
• Сила реакции опоры $N_2$, направленная вертикально вверх.
• Сила натяжения нити $T$, направленная горизонтально в сторону движения (вдоль оси $Ox$).
• Сила трения скольжения $f_{тр2}$, направленная горизонтально против движения.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат для тела $m_2$:

На ось $Oy$: $N_2 - m_2g = 0 \Rightarrow N_2 = m_2g$

Сила трения скольжения, действующая на второе тело: $f_{тр2} = \mu N_2 = \mu m_2g$.

На ось $Ox$: $T - f_{тр2} = m_2a \Rightarrow T - \mu m_2g = m_2a$ (1)

Рассмотрим силы, действующие на первое тело (массой $m_1$):

• Сила тяжести $m_1g$, направленная вертикально вниз.
• Сила реакции опоры $N_1$, направленная вертикально вверх.
• Приложенная сила $F$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту. Ее проекции: $F_x = F \cos\alpha$ и $F_y = F \sin\alpha$.
• Сила натяжения нити $T$, направленная горизонтально против движения.
• Сила трения скольжения $f_{тр1}$, направленная горизонтально против движения.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат для тела $m_1$:

На ось $Oy$: $N_1 + F \sin\alpha - m_1g = 0 \Rightarrow N_1 = m_1g - F \sin\alpha$.

Сила трения скольжения, действующая на первое тело: $f_{тр1} = \mu N_1 = \mu (m_1g - F \sin\alpha)$. (Это справедливо, если тело не отрывается от поверхности, то есть $N_1 \ge 0$).

На ось $Ox$: $F \cos\alpha - T - f_{тр1} = m_1a \Rightarrow F \cos\alpha - T - \mu (m_1g - F \sin\alpha) = m_1a$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными: $a$ и $T$. Нам нужно найти $T$. Для этого выразим ускорение $a$ из первого уравнения и подставим во второе.

Из уравнения (1): $a = \frac{T - \mu m_2g}{m_2}$

Подставляем это выражение для $a$ в уравнение (2):

$F \cos\alpha - T - \mu m_1g + \mu F \sin\alpha = m_1 \left( \frac{T - \mu m_2g}{m_2} \right)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие $T$:

$F \cos\alpha - \mu m_1g + \mu F \sin\alpha - T = \frac{m_1}{m_2}T - \frac{m_1}{m_2}\mu m_2g$

$F \cos\alpha - \mu m_1g + \mu F \sin\alpha - T = \frac{m_1}{m_2}T - \mu m_1g$

Сократим $- \mu m_1g$ с обеих сторон:

$F \cos\alpha + \mu F \sin\alpha - T = \frac{m_1}{m_2}T$

Перенесем слагаемые с $T$ в правую часть:

$F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = T + \frac{m_1}{m_2}T$

$F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = T \left( 1 + \frac{m_1}{m_2} \right)$

$F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = T \left( \frac{m_2 + m_1}{m_2} \right)$

Наконец, выражаем $T$:

$T = \frac{m_2}{m_1 + m_2} F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha)$

Ответ: $T = \frac{m_2 F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha)}{m_1 + m_2}$