Номер 570, страница 116 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$ \alpha = 30^{\circ} $
$ l = 80 \text{ см} $
$ m = 1,0 \text{ кг} $
$ v = 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} $

$ l = 0,8 \text{ м} $

Найти:

$ F $ - модуль силы, с которой груз действует на стержень, и ее направление.

Решение:

Груз, закрепленный на конце стержня, совершает равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости. Рассмотрим силы, действующие на груз. Это сила тяжести $ m\vec{g} $, направленная вертикально вниз, и сила реакции стержня $ \vec{F}_{\text{реакции}} $, с которой стержень действует на груз.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма этих сил равна произведению массы груза на его ускорение. Поскольку движение происходит по окружности, ускорение является центростремительным $ \vec{a}_c $ и направлено горизонтально к оси вращения.

$ \vec{F}_{\text{реакции}} + m\vec{g} = m\vec{a}_c $

Для решения задачи введем систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к оси вращения AB. Тогда уравнение второго закона Ньютона в проекциях на эти оси примет вид:

Проекция на ось OX: $ F_{реакции, x} = m a_c $

Проекция на ось OY: $ F_{реакции, y} - mg = 0 \implies F_{реакции, y} = mg $

Центростремительное ускорение определяется формулой $ a_c = \frac{v^2}{r} $, где $ r $ – радиус окружности, по которой движется груз. Из геометрии системы (рис. 106) следует, что радиус вращения $ r $ можно найти как:

$ r = l \sin{\alpha} $

Вычислим значение радиуса:

$ r = 0,8 \text{ м} \cdot \sin{30^{\circ}} = 0,8 \text{ м} \cdot 0,5 = 0,4 \text{ м} $

Теперь найдем компоненты силы реакции стержня, приняв ускорение свободного падения $ g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} $.

Горизонтальная компонента силы реакции:

$ F_{реакции, x} = m \frac{v^2}{r} = 1,0 \text{ кг} \cdot \frac{(2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{0,4 \text{ м}} = 1,0 \cdot \frac{4,0}{0,4} \text{ Н} = 10 \text{ Н} $

Вертикальная компонента силы реакции:

$ F_{реакции, y} = mg = 1,0 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 10 \text{ Н} $

По третьему закону Ньютона, сила $ \vec{F} $, с которой груз действует на стержень, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции стержня $ \vec{F}_{\text{реакции}} $:

$ \vec{F} = -\vec{F}_{\text{реакции}} $

Модуль силы $ F $ равен модулю силы $ F_{\text{реакции}} $ и вычисляется по теореме Пифагора:

$ F = |\vec{F}_{\text{реакции}}| = \sqrt{F_{реакции, x}^2 + F_{реакции, y}^2} = \sqrt{(10 \text{ Н})^2 + (10 \text{ Н})^2} = \sqrt{200} \text{ Н} = 10\sqrt{2} \text{ Н} \approx 14,14 \text{ Н} $

С учетом точности исходных данных, округляем результат до двух значащих цифр: $ F \approx 14 \text{ Н} $.

Теперь определим направление силы $ \vec{F} $. Сила реакции стержня $ \vec{F}_{\text{реакции}} $ направлена вверх и к оси вращения. Следовательно, сила $ \vec{F} $, с которой груз действует на стержень, будет направлена вниз и от оси вращения. Найдем угол $ \beta $, который вектор силы $ \vec{F} $ образует с вертикалью.

$ \tan{\beta} = \frac{|F_x|}{|F_y|} = \frac{10 \text{ Н}}{10 \text{ Н}} = 1 $

$ \beta = \arctan(1) = 45^{\circ} $

Сила, с которой груз действует на стержень, направлена под углом $ 45^{\circ} $ к вертикали вниз и в сторону от оси вращения.

Ответ: Модуль силы, с которой груз действует на стержень, равен $ 10\sqrt{2} \text{ Н} \approx 14 \text{ Н} $. Сила направлена под углом $ 45^{\circ} $ к вертикали вниз, в сторону от оси вращения.