Номер 567, страница 116 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано

Масса шарика: $m$

Длина нити: $l$

Угловая скорость вращения: $\omega$

Угол наклона нити к горизонту: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти

Модуль силы натяжения нити: $T$

Модуль силы давления шарика на платформу: $P$

Решение

Рассмотрим силы, действующие на шарик, в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. На шарик действуют три силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити под углом $\alpha$ к горизонтальной плоскости.

3. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ со стороны платформы, направленная вертикально вверх.

Согласно третьему закону Ньютона, сила давления шарика на платформу $P$ равна по модулю силе нормальной реакции опоры $N$, то есть $P = N$.

Шарик вращается вместе с платформой и движется по горизонтальной окружности. Радиус этой окружности $R$ можно определить из геометрии, представленной на рисунке: $R = l \cos\alpha$.

Поскольку шарик движется по окружности с постоянной угловой скоростью $\omega$, он обладает центростремительным ускорением $\vec{a}_c$, направленным горизонтально к оси вращения. Модуль этого ускорения равен $a_c = \omega^2 R = \omega^2 l \cos\alpha$.

Запишем второй закон Ньютона для шарика в векторной форме: $m\vec{a}_c = \vec{T} + m\vec{g} + \vec{N}$.

Для решения задачи спроецируем это уравнение на оси координат. Направим ось OX горизонтально к центру вращения, а ось OY — вертикально вверх.

Проекция на ось OX:

$T \cos\alpha = m a_c$

$T \cos\alpha = m \omega^2 l \cos\alpha$

Проекция на ось OY (ускорение в этом направлении равно нулю):

$N + T \sin\alpha - mg = 0$

$N = mg - T \sin\alpha$

Из полученных уравнений найдем искомые величины.

Модуль силы натяжения нити

Из уравнения для проекции на горизонтальную ось $T \cos\alpha = m \omega^2 l \cos\alpha$, при условии, что угол $\alpha \neq 90^\circ$ (нить не вертикальна), мы можем сократить обе части уравнения на $\cos\alpha$. В результате получаем выражение для модуля силы натяжения нити.

Ответ: $T = m \omega^2 l$.

Модуль силы давления шарика на платформу

Сила давления $P$ равна по модулю силе нормальной реакции $N$. Из уравнения для проекции на вертикальную ось мы имеем $N = mg - T \sin\alpha$. Подставим в это выражение найденный ранее модуль силы натяжения $T=m \omega^2 l$:

$N = mg - (m \omega^2 l) \sin\alpha = m(g - \omega^2 l \sin\alpha)$

Так как $P = N$, то сила давления шарика на платформу равна:

$P = m(g - \omega^2 l \sin\alpha)$

Это решение физически осмысленно, пока шарик не отрывается от платформы, то есть пока сила реакции опоры $N \geq 0$, что соответствует условию $g \geq \omega^2 l \sin\alpha$.

Ответ: $P = m(g - \omega^2 l \sin\alpha)$.