Номер 568, страница 116 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса космонавта, $m = 80$ кг
Расстояние до оси вращения, $R = 4.0$ м
Частота вращения, $\nu = 30 \frac{\text{об}}{\text{мин}}$

Перевод в систему СИ:
Частота вращения: $\nu = 30 \frac{\text{об}}{60 \text{ с}} = 0.5 \frac{\text{об}}{\text{с}} = 0.5$ Гц

Найти:

Модуль веса $P$ - ?
Направление веса $\vec{P}$ - ?

Решение:

Вес космонавта в центрифуге – это сила, с которой он действует на опору (кресло). Эта сила является векторной суммой двух сил: силы, обусловленной вращением, и силы тяжести.

1. Найдем силу, с которой космонавт давит на спинку кресла из-за вращения. Эта сила по модулю равна центростремительной силе $F_c$, удерживающей космонавта на круговой траектории, и направлена от центра вращения (радиально наружу). Назовем ее горизонтальной составляющей веса $P_г$.
Центростремительное ускорение $a_c$ вычисляется по формуле:
$a_c = \omega^2 R$
где $\omega$ – угловая скорость. Связь угловой скорости с частотой вращения:
$\omega = 2\pi\nu$
Тогда $a_c = (2\pi\nu)^2 R = 4\pi^2\nu^2 R$.
Горизонтальная составляющая веса $P_г$ равна:
$P_г = m \cdot a_c = 4\pi^2\nu^2 m R$
Подставим значения (используя $\pi \approx 3.14$):
$P_г = 4 \cdot (3.14)^2 \cdot (0.5 \text{ Гц})^2 \cdot 80 \text{ кг} \cdot 4.0 \text{ м} \approx 4 \cdot 9.86 \cdot 0.25 \cdot 320 \text{ Н} \approx 3155 \text{ Н}$.
Эта сила направлена горизонтально, от оси вращения.

2. Найдем силу тяжести, с которой космонавт давит на сиденье кресла. Это вертикальная составляющая веса $P_в$.
$P_в = m \cdot g$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.
$P_в = 80 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 784 \text{ Н}$.
Эта сила направлена вертикально вниз.

3. Полный вес $P$ является векторной суммой $P_г$ и $P_в$. Так как векторы этих сил перпендикулярны, модуль полного веса найдем по теореме Пифагора:
$P = \sqrt{P_г^2 + P_в^2} = \sqrt{(3155 \text{ Н})^2 + (784 \text{ Н})^2} \approx \sqrt{9954025 + 614656} \text{ Н} = \sqrt{10568681} \text{ Н} \approx 3251 \text{ Н}$.
Округляя результат до двух значащих цифр (согласно данным задачи), получаем $P \approx 3.3 \cdot 10^3 \text{ Н} = 3.3 \text{ кН}$.

4. Направление веса определим как угол $\alpha$ отклонения от горизонтали вниз.
$\text{tg}(\alpha) = \frac{P_в}{P_г} = \frac{784 \text{ Н}}{3155 \text{ Н}} \approx 0.248$
$\alpha = \text{arctg}(0.248) \approx 14^\circ$

Ответ: Модуль веса космонавта равен приблизительно $3.3$ кН, направление – под углом $14^\circ$ к горизонтали, в сторону от центра вращения.