Номер 572, страница 117 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Для оценки силы, с которой гимнаст действует на перекладину, необходимо рассмотреть движение его центра масс. Будем считать, что центр масс гимнаста движется по вертикальной окружности. Сила, с которой гимнаст действует на перекладину, по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции перекладины, действующей на гимнаста.

Дано:

Так как это задача на оценку, необходимо принять разумные значения для физических величин. Будем считать, что гимнаст — взрослый мужчина спортивного телосложения.

Масса гимнаста: $m \approx 70 \text{ кг}$

Расстояние от оси вращения (перекладины) до центра масс гимнаста (радиус вращения): $R \approx 1 \text{ м}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Силу $F$, с которой гимнаст действует на перекладину в нижней точке траектории.

Решение:

В нижней точке траектории на центр масс гимнаста действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила реакции перекладины $T$, направленная вертикально вверх (к центру вращения).

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$, где $v$ — скорость гимнаста в нижней точке. Запишем уравнение движения в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T - mg = m a_c = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда сила реакции перекладины $T = mg + m \frac{v^2}{R}$. Сила $F$, с которой гимнаст действует на перекладину, по модулю равна $T$.

Для нахождения скорости $v$ в нижней точке воспользуемся законом сохранения механической энергии. Рассмотрим две точки: верхнюю и нижнюю точку траектории центра масс. Будем считать, что гимнаст начинает полный оборот (упражнение "солнце") из положения стойки на руках на перекладине, то есть его начальная скорость в верхней точке близка к нулю ($v_1 \approx 0$).

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение центра масс.

В верхнем положении (точка 1) высота центра масс над нулевым уровнем равна $h_1 = 2R$. Полная механическая энергия системы в этой точке равна:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} \approx 0 + mgh_1 = 2mgR$

В нижнем положении (точка 2) высота центра масс $h_2 = 0$, а его скорость равна $v$. Полная механическая энергия в этой точке:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{1}{2}mv^2 + 0$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$2mgR = \frac{1}{2}mv^2$

Из этого уравнения выразим квадрат скорости:

$v^2 = 4gR$

Теперь подставим полученное выражение для $v^2$ в формулу для силы $T$ (и, соответственно, $F$):

$F = T = mg + m \frac{4gR}{R} = mg + 4mg = 5mg$

Таким образом, сила, с которой гимнаст действует на перекладину в нижней точке, примерно в пять раз превышает его собственный вес.

Подставим численные значения из раздела "Дано":

$F = 5 \cdot 70 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 3500 \text{ Н}$

Ответ: оценочное значение силы, с которой гимнаст действует на перекладину в нижнем положении, составляет около $3500 \text{ Н}$.