Номер 563, страница 115 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$R = 147 \text{ м}$

$n = 3.5$

$\alpha = 60^\circ$

$v = \text{const}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v$

Решение:

Автомобиль движется по выпуклому мосту, который является дугой окружности радиусом $R$. Движение по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью является движением с центростремительным ускорением, направленным к центру кривизны моста. Модуль этого ускорения равен $a_c = \frac{v^2}{R}$.

Рассмотрим две точки траектории автомобиля:

1. Верхняя точка моста (Точка 1).

На автомобиль действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N_1$, направленная вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона, в проекции на вертикальную ось, направленную к центру кривизны (вниз):

$mg - N_1 = m a_c = \frac{m v^2}{R}$

По третьему закону Ньютона, сила давления автомобиля на мост $P_1$ равна по модулю силе нормальной реакции опоры $N_1$.

$P_1 = N_1 = mg - \frac{m v^2}{R}$

2. Точка, где радиус-вектор из центра кривизны составляет угол $\alpha$ с вертикалью (Точка 2).

В этой точке на автомобиль также действуют сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $N_2$. Сила $N_2$ перпендикулярна поверхности моста и направлена от центра кривизны. Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление, которое направлено к центру кривизны:

$mg \cos\alpha - N_2 = m a_c = \frac{m v^2}{R}$

Здесь $mg \cos\alpha$ — это проекция силы тяжести на радиальное направление.

Сила давления автомобиля на мост в этой точке $P_2$ равна по модулю $N_2$.

$P_2 = N_2 = mg \cos\alpha - \frac{m v^2}{R}$

По условию задачи, $P_1 = n \cdot P_2$. Подставим выражения для сил давления:

$mg - \frac{m v^2}{R} = n \left( mg \cos\alpha - \frac{m v^2}{R} \right)$

Сократим массу $m$, так как она присутствует в каждом члене уравнения:

$g - \frac{v^2}{R} = n \left( g \cos\alpha - \frac{v^2}{R} \right)$

$g - \frac{v^2}{R} = n g \cos\alpha - n \frac{v^2}{R}$

Сгруппируем члены, содержащие $v^2$ и $g$:

$n \frac{v^2}{R} - \frac{v^2}{R} = n g \cos\alpha - g$

$\frac{v^2}{R}(n - 1) = g(n \cos\alpha - 1)$

Выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{R g (n \cos\alpha - 1)}{n - 1}$

Отсюда находим скорость $v$:

$v = \sqrt{\frac{R g (n \cos\alpha - 1)}{n - 1}}$

Для упрощения расчетов примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$. Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{147 \cdot 10 \cdot (3.5 \cdot \cos 60^\circ - 1)}{3.5 - 1}}$

Так как $\cos 60^\circ = 0.5$:

$v = \sqrt{\frac{1470 \cdot (3.5 \cdot 0.5 - 1)}{2.5}} = \sqrt{\frac{1470 \cdot (1.75 - 1)}{2.5}} = \sqrt{\frac{1470 \cdot 0.75}{2.5}}$

$v = \sqrt{\frac{1102.5}{2.5}} = \sqrt{441} = 21 \text{ м/с}$

Ответ: $21 \text{ м/с}$.