Номер 556, страница 114 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость самолета, $v = 540 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$
Тангенс угла наклона, $\text{tg}\,\alpha = 0.30$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Переведем скорость в систему СИ:
$v = 540 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 150 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Радиус окружности, $R - ?$

Решение:

При выполнении виража (полета по окружности) самолет наклоняется на угол $\alpha$. На самолет действуют две основные силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и полная аэродинамическая сила, которую можно разложить на подъемную силу $F_л$, перпендикулярную плоскости крыльев, и силу лобового сопротивления (которой в данной задаче можно пренебречь, так как скорость постоянна по модулю). Для простоты будем считать, что результирующая сила, действующая со стороны воздуха, перпендикулярна крыльям и является подъемной силой $F_л$.

Поскольку крылья самолета наклонены к горизонтальной плоскости на угол $\alpha$, подъемная сила $F_л$ будет направлена под углом $\alpha$ к вертикали. Разложим эту силу на две составляющие: вертикальную $F_{лу}$ и горизонтальную $F_{лx}$.

Вертикальная составляющая подъемной силы $F_{лу}$ уравновешивает силу тяжести, так как самолет движется в горизонтальной плоскости и не имеет вертикального ускорения.
$F_{лу} = F_л \cdot \cos(\alpha) = mg$ (1)

Горизонтальная составляющая подъемной силы $F_{лx}$ является центростремительной силой. Она направлена к центру окружности и обеспечивает движение самолета по дуге. Согласно второму закону Ньютона:
$F_{лx} = F_л \cdot \sin(\alpha) = m \cdot a_ц$

Центростремительное ускорение $a_ц$ равно $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $v$ — скорость самолета, а $R$ — радиус окружности.
$F_л \cdot \sin(\alpha) = \frac{m \cdot v^2}{R}$ (2)

Чтобы найти радиус $R$, разделим уравнение (2) на уравнение (1). Это позволит нам исключить массу самолета $m$ и величину подъемной силы $F_л$:
$\frac{F_л \cdot \sin(\alpha)}{F_л \cdot \cos(\alpha)} = \frac{\frac{m \cdot v^2}{R}}{mg}$

Сокращая одинаковые множители и используя тригонометрическое тождество $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \text{tg}(\alpha)$, получаем:
$\text{tg}(\alpha) = \frac{v^2}{R \cdot g}$

Из этого выражения выразим искомый радиус $R$:
$R = \frac{v^2}{g \cdot \text{tg}(\alpha)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:
$R = \frac{(150 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.30} = \frac{22500 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2.94 \text{ м}/\text{с}^2} \approx 7653.06 \text{ м}$

Округлим результат, учитывая точность исходных данных (2-3 значащие цифры):
$R \approx 7650 \text{ м}$

Ответ: радиус окружности составляет приблизительно $7650 \text{ м}$ или $7.65 \text{ км}$.