Номер 550, страница 113 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угол при вершине конуса: $2\alpha$

Масса шарика: $m$

Угловая скорость вращения: $\omega$

Радиус окружности вращения шарика: $R$

Найти:

Модуль силы натяжения нити: $T$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на шарик во вращающейся системе отсчета, связанной с конусом. На шарик действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити по образующей конуса.

3. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно внутренней поверхности конуса.

Шарик вращается равномерно по окружности радиуса $R$. Его ускорение является центростремительным и направлено горизонтально к оси вращения. Величина этого ускорения равна $a_c = \omega^2 R$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Выберем систему координат с осью OY, направленной вертикально вверх, и осью OX, направленной горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик.

Угол между образующей конуса (и, следовательно, силой натяжения $\vec{T}$) и вертикальной осью OY равен $\alpha$.

Сила нормальной реакции $\vec{N}$ перпендикулярна образующей конуса. Следовательно, угол между вектором $\vec{N}$ и горизонтальной осью OX равен $\alpha$.

Проекции сил на оси координат:

На ось OX:

$T_x + N_x = m a_c$

$T \sin\alpha + N \cos\alpha = m\omega^2 R$ (1)

На ось OY:

$T_y + N_y - mg = 0$

$T \cos\alpha + N \sin\alpha = mg$ (2)

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $T$ и $N$. Нам необходимо найти $T$. Для этого выразим $N$ из одного уравнения и подставим в другое.

Из уравнения (2) выразим $N$:

$N \sin\alpha = mg - T \cos\alpha$

$N = \frac{mg - T \cos\alpha}{\sin\alpha}$

Подставим это выражение для $N$ в уравнение (1):

$T \sin\alpha + \left(\frac{mg - T \cos\alpha}{\sin\alpha}\right) \cos\alpha = m\omega^2 R$

Умножим обе части уравнения на $\sin\alpha$, чтобы избавиться от знаменателя:

$T \sin^2\alpha + (mg - T \cos\alpha) \cos\alpha = m\omega^2 R \sin\alpha$

Раскроем скобки:

$T \sin^2\alpha + mg \cos\alpha - T \cos^2\alpha = m\omega^2 R \sin\alpha$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $T$:

$T(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) = m\omega^2 R \sin\alpha - mg \cos\alpha$

Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Отсюда $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos(2\alpha)$.

$T(-\cos(2\alpha)) = m(\omega^2 R \sin\alpha - g \cos\alpha)$

Выразим $T$:

$T = \frac{m(g \cos\alpha - \omega^2 R \sin\alpha)}{\cos(2\alpha)}$

Ответ: $T = \frac{m(g \cos\alpha - \omega^2 R \sin\alpha)}{\cos(2\alpha)}$