Номер 548, страница 113 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$\omega = 10 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$
$\alpha = 60^\circ$
$k = 40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Найти:

$l_0$ — ?

Решение:

На груз, вращающийся в горизонтальной плоскости, действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила упругости (натяжения) резинового жгута $T$, направленная вдоль жгута к точке подвеса. Равнодействующая этих сил сообщает грузу центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось OY (направлена вверх) и горизонтальную ось OX (направлена к центру окружности).

В проекции на ось OY тело не движется, поэтому сумма сил равна нулю:$T \cos\alpha - mg = 0$Отсюда можно выразить силу натяжения жгута $T$:$T = \frac{mg}{\cos\alpha}$ (1)

В проекции на ось OX равнодействующая сил равна центростремительной силе $F_c = ma_c$:$T \sin\alpha = ma_c$Центростремительное ускорение определяется как $a_c = \omega^2 r$, где $r$ — радиус окружности вращения.$T \sin\alpha = m \omega^2 r$ (2)

Пусть $l$ — длина растянутого жгута. Из геометрии видно, что радиус вращения $r$ связан с длиной $l$ и углом $\alpha$ соотношением:$r = l \sin\alpha$

Подставим это выражение для радиуса в уравнение (2):$T \sin\alpha = m \omega^2 (l \sin\alpha)$Поскольку угол $\alpha = 60^\circ$, то $\sin\alpha \neq 0$, и мы можем сократить обе части уравнения на $\sin\alpha$:$T = m \omega^2 l$ (3)

Теперь, приравняв правые части выражений для силы $T$ из уравнений (1) и (3), получим:$\frac{mg}{\cos\alpha} = m \omega^2 l$Сократим массу $m$ и выразим длину растянутого жгута $l$:$l = \frac{g}{\omega^2 \cos\alpha}$

Подставим числовые значения для расчета $l$:$l = \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{(10 \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2 \cdot \cos 60^\circ} = \frac{10}{100 \cdot 0.5} = \frac{10}{50} = 0.2 \text{ м}$

Сила натяжения $T$ является силой упругости, и по закону Гука она равна $T = k \cdot \Delta l$, где $\Delta l = l - l_0$ — удлинение жгута ($l_0$ — начальная, недеформированная длина).Следовательно, $T = k(l - l_0)$.Выразим отсюда искомую длину $l_0$:$l_0 = l - \frac{T}{k}$

Найдем численное значение силы натяжения $T$ из уравнения (1):$T = \frac{mg}{\cos\alpha} = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{\cos 60^\circ} = \frac{1 \text{ Н}}{0.5} = 2 \text{ Н}$

Теперь можем рассчитать длину недеформированного жгута $l_0$:$l_0 = 0.2 \text{ м} - \frac{2 \text{ Н}}{40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 0.2 \text{ м} - 0.05 \text{ м} = 0.15 \text{ м}$

Ответ: длина недеформированного жгута равна $0.15 \text{ м}$.