Номер 555, страница 114 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угол наклона трека, $α = 45°$

Радиус закругления, $R = 30$ м

Коэффициент трения, $μ = 0,50$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Максимально допустимая скорость, $v_{max}$ — ?

Решение:

На мотоциклиста, движущегося по наклонному треку, действуют три силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $N$, перпендикулярная поверхности трека, и сила трения $F_{тр}$, направленная вдоль поверхности. Мы ищем максимальную скорость, при которой мотоциклист еще не соскальзывает вверх по склону. В этом предельном случае сила трения покоя максимальна, равна силе трения скольжения $F_{тр} = μN$ и направлена вниз вдоль наклонной поверхности, препятствуя движению вверх.

Введём систему координат: ось $Oy$ направим вертикально вверх, а ось $Ox$ — горизонтально к центру окружности, по которой движется мотоциклист. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v_{max}^2}{R}$, направленное по оси $Ox$.

Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси координат:

1. Проекция на ось $Ox$ (горизонтальная):

Горизонтальные составляющие силы нормальной реакции $N_x = N \sin(α)$ и силы трения $F_{тр_x} = F_{тр} \cos(α)$ направлены к центру окружности. Их сумма создает центростремительное ускорение.

$N \sin(α) + F_{тр} \cos(α) = m a_ц = m \frac{v_{max}^2}{R}$

Подставляя $F_{тр} = μN$, получаем:

$N \sin(α) + μN \cos(α) = m \frac{v_{max}^2}{R}$

$N(\sin(α) + μ \cos(α)) = m \frac{v_{max}^2}{R}$ (1)

2. Проекция на ось $Oy$ (вертикальная):

По вертикали мотоциклист не движется, поэтому сумма проекций сил на эту ось равна нулю.

$N \cos(α) - mg - F_{тр} \sin(α) = 0$

Подставляя $F_{тр} = μN$, получаем:

$N \cos(α) - mg - μN \sin(α) = 0$

Отсюда выразим силу нормальной реакции $N$:

$N(\cos(α) - μ \sin(α)) = mg$

$N = \frac{mg}{\cos(α) - μ \sin(α)}$ (2)

Теперь подставим выражение для $N$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$\frac{mg}{\cos(α) - μ \sin(α)} (\sin(α) + μ \cos(α)) = m \frac{v_{max}^2}{R}$

Масса $m$ сокращается. Выразим квадрат скорости $v_{max}^2$:

$v_{max}^2 = gR \frac{\sin(α) + μ \cos(α)}{\cos(α) - μ \sin(α)}$

Разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos(α)$, чтобы перейти к тангенсу:

$v_{max}^2 = gR \frac{\frac{\sin(α)}{\cos(α)} + μ}{1 - μ \frac{\sin(α)}{\cos(α)}} = gR \frac{\tan(α) + μ}{1 - μ \tan(α)}$

Теперь можем найти $v_{max}$:

$v_{max} = \sqrt{gR \frac{\tan(α) + μ}{1 - μ \tan(α)}}$

Подставим числовые значения из условия задачи, учитывая, что $\tan(45°) = 1$:

$v_{max} = \sqrt{10 \cdot 30 \cdot \frac{\tan(45°) + 0,50}{1 - 0,50 \cdot \tan(45°)}} = \sqrt{300 \cdot \frac{1 + 0,50}{1 - 0,50 \cdot 1}} = \sqrt{300 \cdot \frac{1,5}{0,5}} = \sqrt{300 \cdot 3} = \sqrt{900} = 30 \text{ м/с}$

Ответ: максимально допустимая скорость мотоциклиста равна $30 \text{ м/с}$.