Номер 552, страница 113 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса конькобежца $m = 80$ кг
Радиус поворота $R = 80$ м
Предельная скорость $v = 9,0$ м/с
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Модуль максимальной силы трения $F_{тр.макс}$ - ?
Угол наклона к горизонту $\alpha$ - ?

Решение:

Определите модуль максимальной силы трения, обеспечивающей поворот конькобежца.

При движении конькобежца по дуге окружности единственной силой, действующей в горизонтальной плоскости и сообщающей ему центростремительное ускорение, является сила трения покоя между коньками и льдом. Эта сила направлена к центру поворота. Согласно второму закону Ньютона:
$F_{тр} = m \cdot a_{ц}$
где $a_{ц}$ — центростремительное ускорение. Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:
$a_{ц} = \frac{v^2}{R}$
Так как конькобежец движется на предельной скорости, при которой еще возможен поворот без заноса, то действующая на него сила трения является максимальной силой трения покоя $F_{тр.макс}$.
Следовательно, модуль максимальной силы трения равен:
$F_{тр.макс} = m \frac{v^2}{R}$
Подставим числовые значения из условия задачи:
$F_{тр.макс} = 80 \text{ кг} \cdot \frac{(9,0 \text{ м/с})^2}{80 \text{ м}} = 80 \cdot \frac{81}{80} \text{ Н} = 81 \text{ Н}$
Ответ: модуль максимальной силы трения равен 81 Н.

Каким будет угол наклона конькобежца к горизонту при совершении такого поворота?

Чтобы совершить поворот и не упасть, конькобежец наклоняется внутрь. На него действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры со стороны льда. Силу реакции опоры можно разложить на две составляющие: нормальную силу реакции опоры $\vec{N}$ (вертикально вверх) и силу трения $\vec{F}_{тр}$ (горизонтально к центру поворота).
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось OY и горизонтальную ось OX:
Ось OY: $N - mg = 0 \implies N = mg$
Ось OX: $F_{тр} = m a_{ц} = m \frac{v^2}{R}$
Для сохранения устойчивости (чтобы не было опрокидывающего момента относительно центра масс) равнодействующая сил, действующих со стороны льда ($\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$), должна быть направлена вдоль тела конькобежца к его центру масс.
Пусть $\alpha$ — искомый угол наклона конькобежца к горизонту. Тогда угол между телом конькобежца и вертикалью будет $\theta = 90^\circ - \alpha$. Тангенс этого угла $\theta$ определяется отношением горизонтальной силы (силы трения) к вертикальной силе (нормальной реакции опоры):
$\tan \theta = \frac{F_{тр}}{N}$
Подставив выражения для сил, получим:
$\tan \theta = \frac{m v^2 / R}{mg} = \frac{v^2}{gR}$
Используя тригонометрическое соотношение $\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha$, можно записать:
$\cot \alpha = \frac{v^2}{gR}$
Для нахождения угла $\alpha$ удобнее использовать тангенс:
$\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{gR}{v^2}$
Подставим числовые значения, приняв $g \approx 9,8$ м/с²:
$\tan \alpha = \frac{9,8 \text{ м/с²} \cdot 80 \text{ м}}{(9,0 \text{ м/с})^2} = \frac{784}{81} \approx 9,679$
Теперь найдем сам угол:
$\alpha = \arctan(9,679) \approx 84,1^\circ$
Округлим до целого значения.
Ответ: угол наклона конькобежца к горизонту составит примерно 84°.