Номер 545, страница 112 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса груза: $m$

Длина нити: $L$

Угол отклонения от вертикали: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $g$

Случай 1 (рис. 98): колебания, точка максимального отклонения.

Случай 2 (рис. 97): равномерное вращение по окружности (конический маятник).

Найти:

Сравнить модули сил натяжения нитей $T_1$ (в первом случае) и $T_2$ (во втором случае).

Решение:

Рассмотрим каждый случай отдельно и найдем выражение для силы натяжения нити.

1. Груз совершает колебания в вертикальной плоскости (рис. 98)

В точке максимального отклонения на угол $\alpha$ груз на мгновение останавливается, чтобы изменить направление движения. Следовательно, его скорость в этой точке равна нулю ($v_1 = 0$).

На груз действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T_1}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, совпадающую с направлением нити и направленную к точке подвеса. Сумма проекций сил на эту ось равна произведению массы на центростремительное ускорение $a_ц$.

$T_1 - mg \cos(\alpha) = m a_ц$

Центростремительное ускорение определяется формулой $a_ц = \frac{v_1^2}{L}$. Поскольку скорость $v_1 = 0$, то и центростремительное ускорение $a_ц = 0$.

Тогда уравнение принимает вид:

$T_1 - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда находим модуль силы натяжения нити для первого случая:

$T_1 = mg \cos(\alpha)$

2. Груз равномерно вращается по окружности, описывая конус (рис. 97)

В этом случае груз движется с постоянной скоростью $v_2$ по горизонтальной окружности. Угол отклонения нити от вертикали постоянен и равен $\alpha$. Такую систему называют коническим маятником.

На груз действуют те же две силы: сила тяжести $m\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T_2}$. Равнодействующая этих сил сообщает грузу центростремительное ускорение $\vec{a_ц}$, направленное горизонтально к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось. Так как в вертикальном направлении движение отсутствует, ускорение в этой проекции равно нулю.

$T_2 \cos(\alpha) - mg = 0$

Отсюда выразим модуль силы натяжения нити для второго случая:

$T_2 = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

3. Сравнение сил натяжения

Мы получили выражения для сил натяжения в обоих случаях:

$T_1 = mg \cos(\alpha)$

$T_2 = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

По условию задачи маятник отклонен, то есть угол $\alpha$ не равен нулю. Также для существования маятника $\alpha < 90^\circ$. Таким образом, $0 < \alpha < 90^\circ$.

Для этих углов значение косинуса находится в пределах $0 < \cos(\alpha) < 1$.

Поскольку $\cos(\alpha)$ — это число, меньшее единицы, то $\frac{1}{\cos(\alpha)}$ будет числом, большим единицы.

Сравним $T_1$ и $T_2$. Так как $\cos(\alpha) < 1$, то $mg \cos(\alpha) < mg$. И так как $\frac{1}{\cos(\alpha)} > 1$, то $\frac{mg}{\cos(\alpha)} > mg$.

Таким образом, мы видим, что $T_1 < mg$ и $T_2 > mg$, из чего следует, что $T_1 < T_2$.

Найдем их отношение для более строгого сравнения:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{mg/\cos(\alpha)}{mg \cos(\alpha)} = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$

Так как $0 < \cos(\alpha) < 1$, то $0 < \cos^2(\alpha) < 1$. Следовательно, отношение $\frac{1}{\cos^2(\alpha)} > 1$.

Это означает, что $T_2 > T_1$.

Ответ: Сила натяжения нити при равномерном вращении по окружности (конический маятник) больше, чем сила натяжения нити в точке максимального отклонения при колебаниях: $T_2 > T_1$.