Номер 542, страница 111 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 50 \text{ г}$

$m_2 = 150 \text{ г}$

$l = 28 \text{ см}$

$m_1 = 50 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.05 \text{ кг}$
$m_2 = 150 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.15 \text{ кг}$
$l = 28 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.28 \text{ м}$

Найти:

$r_1$

Решение:

При равномерном вращении диска с угловой скоростью $\omega$ шарики занимают устойчивое положение на стержне. В этом положении на каждый шарик действуют силы, сумма которых сообщает ему необходимое центростремительное ускорение. В горизонтальном направлении на каждый шарик действует только сила натяжения нити $T$. Эта сила и является центростремительной силой.

Пусть $r_1$ — расстояние от центра первого шарика до оси вращения, а $r_2$ — расстояние от центра второго шарика до оси вращения. Так как ось вращения находится между шариками, а расстояние между их центрами равно $l$, то справедливо соотношение:

$r_1 + r_2 = l$

Запишем второй закон Ньютона для каждого шарика в проекции на горизонтальную ось, совпадающую со стержнем и направленную к оси вращения. Оба шарика вращаются с одинаковой угловой скоростью $\omega$.

Для первого шарика (массой $m_1$):

$T = F_{ц1} = m_1 a_{ц1} = m_1 \omega^2 r_1$

Для второго шарика (массой $m_2$):

$T = F_{ц2} = m_2 a_{ц2} = m_2 \omega^2 r_2$

Поскольку нить одна и она нерастяжима, сила натяжения $T$ одинакова для обоих шариков. Приравняем правые части уравнений:

$m_1 \omega^2 r_1 = m_2 \omega^2 r_2$

Сокращаем на $\omega^2$ (поскольку вращение происходит, $\omega \neq 0$):

$m_1 r_1 = m_2 r_2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $r_1$ и $r_2$:

$ \begin{cases} m_1 r_1 = m_2 r_2 \\ r_1 + r_2 = l \end{cases} $

Нам необходимо найти $r_1$. Для этого выразим $r_2$ из второго уравнения:

$r_2 = l - r_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$m_1 r_1 = m_2 (l - r_1)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $r_1$:

$m_1 r_1 = m_2 l - m_2 r_1$

$m_1 r_1 + m_2 r_1 = m_2 l$

$r_1 (m_1 + m_2) = m_2 l$

$r_1 = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$r_1 = \frac{0.15 \text{ кг} \cdot 0.28 \text{ м}}{0.05 \text{ кг} + 0.15 \text{ кг}} = \frac{0.042 \text{ кг} \cdot \text{м}}{0.20 \text{ кг}} = 0.21 \text{ м}$

Ответ: расстояние от первого шарика до оси вращения диска равно 0,21 м (или 21 см).