Номер 546, страница 112 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина нити: $l$

Расстояние от точки крепления до оси вращения: $R$

Угол отклонения нити от вертикали: $α$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Угловую скорость вращения диска: $ω$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на груз в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. На груз действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

При равномерном вращении диска груз движется по окружности в горизонтальной плоскости. Следовательно, у него есть центростремительное ускорение $a_c$, направленное горизонтально к оси вращения. Равнодействующая всех сил, приложенных к грузу, равна $ma_c$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную (OY) и горизонтальную (OX) оси. Ось OY направим вертикально вверх, ось OX — горизонтально к центру окружности, по которой движется груз.

Проекция на ось OY: $T \cos(α) - mg = 0$ Так как по вертикали движение отсутствует, сумма проекций сил на эту ось равна нулю. Отсюда можем выразить силу натяжения нити:

$T = \frac{mg}{\cos(α)}$ (1)

Проекция на ось OX: $T \sin(α) = ma_c$ Горизонтальная составляющая силы натяжения нити создает центростремительное ускорение. Центростремительное ускорение связано с угловой скоростью $ω$ и радиусом вращения $r$ соотношением $a_c = ω^2r$. Тогда:

$T \sin(α) = mω^2r$ (2)

Радиус вращения $r$, по которому движется груз, складывается из расстояния от точки крепления нити до оси вращения диска $R$ и горизонтальной проекции длины нити $l$. Из рисунка видно:

$r = R + l \sin(α)$

Теперь подставим выражение для силы натяжения $T$ из уравнения (1) и радиуса $r$ в уравнение (2):

$\frac{mg}{\cos(α)} \sin(α) = mω^2(R + l \sin(α))$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения. Учитывая, что $\frac{\sin(α)}{\cos(α)} = \tan(α)$, получим:

$g \tan(α) = ω^2(R + l \sin(α))$

Выразим квадрат угловой скорости:

$ω^2 = \frac{g \tan(α)}{R + l \sin(α)}$

Извлекая квадратный корень, находим искомую угловую скорость:

$ω = \sqrt{\frac{g \tan(α)}{R + l \sin(α)}}$

Ответ: $ω = \sqrt{\frac{g \tan(α)}{R + l \sin(α)}}$