Номер 544, страница 112 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 1,0 \text{ кг}$

$l = 2,0 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

$v = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (примем ускорение свободного падения равным 10)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$T - ?$

Решение:

На шарик в данный момент времени действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Шарик движется по дуге окружности радиусом $l$. Его движение является ускоренным. Ускорение $\vec{a}$ можно разложить на две составляющие: тангенциальную (касательную) и нормальную (центростремительную). Для нахождения силы натяжения нити нам необходимо рассмотреть силы, действующие вдоль радиуса.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a} = \vec{T} + m\vec{g}$.

Выберем систему координат, в которой одна из осей (например, ось Y) направлена вдоль нити к центру окружности (точке подвеса). В этом случае нормальное (центростремительное) ускорение $a_n$ будет направлено вдоль этой оси.

Спроецируем силы на ось Y:

Проекция силы натяжения нити: $T_y = T$.

Проекция силы тяжести: $mg_y = -mg \cos\alpha$. Знак "минус" показывает, что проекция направлена в сторону, противоположную оси Y.

Второй закон Ньютона в проекции на ось Y будет иметь вид:

$ma_n = T - mg \cos\alpha$

Центростремительное ускорение определяется по формуле $a_n = \frac{v^2}{r}$, где $r$ – радиус кривизны траектории. В нашем случае $r = l$.

$m\frac{v^2}{l} = T - mg \cos\alpha$

Выразим из этого уравнения силу натяжения нити $T$:

$T = mg \cos\alpha + m\frac{v^2}{l}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T = 1,0 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \cos 60^\circ + 1,0 \text{ кг} \cdot \frac{(1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2,0 \text{ м}}$

Зная, что $\cos 60^\circ = 0,5$, получаем:

$T = 1,0 \cdot 10 \cdot 0,5 + 1,0 \cdot \frac{1,0}{2,0} = 5,0 + 0,5 = 5,5 \text{ Н}$

Ответ: модуль силы натяжения нити в данный момент времени равен $5,5 \text{ Н}$.