Номер 538, страница 110 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса муфты, $m = 0,5$ кг

Угловая скорость, $\omega = 3$ рад/с

Увеличение длины пружины, $n = 2$

Найти:

Жесткость пружины, $k$

Решение:

При равномерном вращении стержня муфта движется по окружности. Движение по окружности возможно только под действием центростремительной силы. В данном случае роль центростремительной силы выполняет сила упругости пружины, которая стремится вернуть муфту к оси вращения.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_ц$ равна произведению массы тела $m$ на его центростремительное ускорение $a_ц$:

$F_ц = m a_ц$

Центростремительное ускорение выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус вращения $r$ как $a_ц = \omega^2 r$. Таким образом, центростремительная сила равна:

$F_ц = m \omega^2 r$

Сила упругости пружины $F_{упр}$ определяется законом Гука:

$F_{упр} = k \Delta L$

где $k$ — жесткость пружины, а $\Delta L$ — ее удлинение.

Пусть начальная, недеформированная длина пружины равна $L_0$. При вращении пружина растягивается до длины $L$. Эта длина $L$ и является радиусом вращения муфты, то есть $r = L$.

По условию задачи, длина пружины увеличивается в $n=2$ раза, следовательно:

$L = n L_0$

Удлинение пружины $\Delta L$ равно разности конечной и начальной длин:

$\Delta L = L - L_0 = n L_0 - L_0 = (n-1)L_0$

Приравниваем силу упругости и центростремительную силу, так как сила упругости и есть та самая сила, что заставляет муфту двигаться по окружности:

$F_{упр} = F_ц$

$k \Delta L = m \omega^2 r$

Подставим выражения для $\Delta L$, $r$ и $L$:

$k(n-1)L_0 = m \omega^2 (n L_0)$

Так как начальная длина пружины $L_0$ не равна нулю, мы можем сократить ее в обеих частях уравнения:

$k(n-1) = m \omega^2 n$

Отсюда выразим искомую жесткость пружины $k$:

$k = \frac{m \omega^2 n}{n-1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$k = \frac{0,5 \text{ кг} \cdot (3 \text{ рад/с})^2 \cdot 2}{2-1} = \frac{0,5 \cdot 9 \cdot 2}{1} = 9 \text{ Н/м}$

Ответ: жесткость пружины равна 9 Н/м.