Номер 532, страница 109 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная высота, $h_0 = 15 \text{ м}$
Начальная скорость, $v_0 = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Угол броска к горизонту, $\alpha = 30^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Время падения камня, $t$ - ?

Решение:

Движение камня представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту, из точки, находящейся на некоторой высоте. Это сложное движение можно разложить на два независимых: равномерное движение по горизонтали (вдоль оси Ox) и равноускоренное движение по вертикали (вдоль оси Oy).

Выберем систему координат. Пусть начало координат (0,0) находится на поверхности земли прямо под точкой броска. Ось Ox направим горизонтально в сторону броска, а ось Oy — вертикально вверх.

В этой системе координат начальное положение камня: $x(0) = 0$, $y(0) = h_0 = 15 \text{ м}$.

Начальная скорость $\vec{v}_0$ имеет проекции на оси:
$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$ — горизонтальная составляющая скорости.
$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$ — вертикальная составляющая скорости.

Зависимость вертикальной координаты $y$ от времени $t$ описывается уравнением равноускоренного движения: $y(t) = y(0) + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

Поскольку на камень действует только сила тяжести, направленная вниз, ускорение $a_y = -g$. Подставив все известные величины, получим: $y(t) = h_0 + (v_0 \sin(\alpha)) t - \frac{gt^2}{2}$

Камень упадет на землю, когда его вертикальная координата станет равной нулю, то есть $y(t) = 0$. Нам нужно найти время $t$, удовлетворяющее этому условию. $0 = h_0 + (v_0 \sin(\alpha)) t - \frac{gt^2}{2}$

Это квадратное уравнение относительно времени $t$. Перепишем его в стандартном виде $At^2 + Bt + C = 0$: $\frac{g}{2}t^2 - (v_0 \sin(\alpha)) t - h_0 = 0$

Подставим числовые значения из условия задачи:
$v_0 = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$, $h_0 = 15 \text{ м}$, $\alpha = 30^\circ$, $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
Значение синуса угла: $\sin(30^\circ) = 0.5$.

$\frac{10}{2}t^2 - (20 \cdot 0.5) t - 15 = 0$
$5t^2 - 10t - 15 = 0$

Чтобы упростить вычисления, разделим все члены уравнения на 5: $t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$

Уравнение имеет два корня:
$t_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ (с)
$t_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ (с)

Время не может быть отрицательной величиной, поэтому второй корень не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, время полета камня до падения на землю составляет 3 секунды.

Ответ: камень упадет на землю через 3 с.