Номер 527, страница 109 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Дальность полета первого камня: $L_1 = l$
Дальность полета второго камня: $L_2 = 3l$
Угол броска второго камня: $\alpha_2 = 30^\circ$
Максимальные высоты подъема: $H_1 = H_2$

Найти:

Угол броска первого камня: $\alpha_1$ — ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, описывается формулами для дальности полета $L$ и максимальной высоты подъема $H$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, эти формулы имеют вид:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

где $v_0$ — начальная скорость, $\alpha$ — угол броска к горизонту, $g$ — ускорение свободного падения.

Чтобы связать эти две величины, найдем их отношение. Разделим выражение для дальности $L$ на выражение для высоты $H$:

$\frac{L}{H} = \frac{\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}}{\frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}}$

Используем тригонометрическую формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и упростим выражение:

$\frac{L}{H} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{g} \cdot \frac{2g}{v_0^2 \sin^2\alpha} = \frac{4\cos\alpha}{\sin\alpha} = 4\cot\alpha$

Из этого соотношения следует, что дальность полета можно выразить как $L = 4H \cot\alpha$.

Запишем это соотношение для обоих камней, обозначив их параметры индексами 1 и 2.

Для первого камня: $L_1 = 4H_1 \cot\alpha_1$.

Для второго камня: $L_2 = 4H_2 \cot\alpha_2$.

Согласно условию задачи, дальности полета соотносятся как $L_1 = l$ и $L_2 = 3l$, а максимальные высоты подъема равны: $H_1 = H_2 = H$. Подставим эти данные в наши уравнения:

$l = 4H \cot\alpha_1$ (1)

$3l = 4H \cot\alpha_2$ (2)

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы исключить неизвестные величины $l$ и $H$:

$\frac{3l}{l} = \frac{4H \cot\alpha_2}{4H \cot\alpha_1}$

После сокращения получаем:

$3 = \frac{\cot\alpha_2}{\cot\alpha_1}$

Отсюда выразим котангенс искомого угла $\alpha_1$:

$\cot\alpha_1 = \frac{\cot\alpha_2}{3}$

Подставим известное значение угла второго камня $\alpha_2 = 30^\circ$. Значение котангенса для этого угла: $\cot(30^\circ) = \sqrt{3}$.

$\cot\alpha_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Угол, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $60^\circ$.

$\alpha_1 = 60^\circ$

Ответ: первый камень был брошен под углом $60^\circ$ к горизонту.