Номер 530, страница 109 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угол броска $\alpha = 30^\circ$

Время $t_1 = 1,0 \text{ с}$

Время $t_2 = 2,0 \text{ с}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Начальная скорость $v_0 - ?$

Высота $h - ?$

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Выберем систему координат, в которой начало совпадает с точкой броска, ось OX направлена горизонтально, а ось OY — вертикально вверх.

Зависимость вертикальной координаты (высоты) шарика от времени $t$ описывается уравнением:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Здесь $v_{0y}$ — это начальная проекция скорости на вертикальную ось, которая равна $v_0 \sin\alpha$. Тогда уравнение высоты принимает вид:

$y(t) = (v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

Согласно условию, в моменты времени $t_1$ и $t_2$ шарик находился на одной и той же высоте $h$. Это значит, что $y(t_1) = h$ и $y(t_2) = h$. Таким образом, $t_1$ и $t_2$ являются двумя корнями квадратного уравнения относительно $t$:

$h = (v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

Приведем это уравнение к стандартному виду $at^2 + bt + c = 0$:

$\frac{g}{2}t^2 - (v_0 \sin\alpha)t + h = 0$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета, которая связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами.

Сумма корней: $t_1 + t_2 = - \frac{-(v_0 \sin\alpha)}{g/2} = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$

Произведение корней: $t_1 t_2 = \frac{h}{g/2} = \frac{2h}{g}$

Из этих двух соотношений можно выразить искомые величины $v_0$ и $h$.

Из формулы для суммы корней найдем модуль начальной скорости $v_0$:

$v_0 = \frac{g(t_1 + t_2)}{2\sin\alpha}$

Подставим известные значения:

$v_0 = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (1,0 \text{ с} + 2,0 \text{ с})}{2 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{9,8 \cdot 3,0}{2 \cdot 0,5} = \frac{29,4}{1} = 29,4 \text{ м/с}$

Из формулы для произведения корней найдем высоту $h$:

$h = \frac{g t_1 t_2}{2}$

Подставим известные значения:

$h = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 1,0 \text{ с} \cdot 2,0 \text{ с}}{2} = 9,8 \text{ м}$

Ответ: модуль начальной скорости $v_0 = 29,4 \text{ м/с}$, высота $h = 9,8 \text{ м}$.