Номер 531, страница 109 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная скорость струи: $v_0 = 10 \frac{м}{с}$

Угол к горизонту: $\alpha = 30^\circ$

Площадь отверстия шланга: $S = 2,0 \text{ см}^2$

Перевод в систему СИ:

$S = 2,0 \text{ см}^2 = 2,0 \times 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

$m$ — массу воды, находящейся в воздухе.

Решение:

Масса воды $m$, которая в любой момент времени находится в воздухе, равна произведению массового расхода воды, вытекающей из шланга ($\dot{m}$), на полное время полета одной частицы воды ($t_{flight}$).

$m = \dot{m} \cdot t_{flight}$

1. Определим массовый расход воды $\dot{m}$. Это масса жидкости, проходящая через поперечное сечение потока в единицу времени. Она рассчитывается по формуле:

$\dot{m} = \rho \cdot Q$

где $\rho$ — плотность воды (стандартное значение $\rho = 1000 \frac{кг}{м^3}$), а $Q$ — объемный расход.

Объемный расход $Q$ равен произведению площади поперечного сечения отверстия $S$ на скорость струи $v_0$:

$Q = S \cdot v_0$

Таким образом, массовый расход равен:

$\dot{m} = \rho \cdot S \cdot v_0$

2. Рассчитаем время полета струи $t_{flight}$. Движение струи воды является движением тела, брошенного под углом к горизонту. Время полета определяется вертикальной составляющей скорости. Уравнение движения по вертикали (ось OY):

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2}$

Здесь $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$ — начальная вертикальная скорость, $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$ для упрощения расчетов, что часто делается в школьных задачах с "круглыми" числами).

Струя падает на землю на той же высоте, с которой была выпущена, поэтому в конце полета $y(t_{flight}) = 0$.

$0 = (v_0 \sin\alpha) t_{flight} - \frac{gt_{flight}^2}{2}$

Так как нас интересует $t_{flight} > 0$, мы можем разделить уравнение на $t_{flight}$:

$v_0 \sin\alpha = \frac{g t_{flight}}{2}$

Отсюда находим время полета:

$t_{flight} = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}$

3. Теперь подставим выражения для $\dot{m}$ и $t_{flight}$ в начальную формулу для массы $m$:

$m = (\rho \cdot S \cdot v_0) \cdot \left(\frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}\right) = \frac{2 \rho S v_0^2 \sin\alpha}{g}$

Выполним вычисления, подставив числовые значения:

$m = \frac{2 \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 2,0 \times 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot \left(10 \frac{м}{с}\right)^2 \cdot \sin(30^\circ)}{10 \frac{м}{с^2}}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = 0,5$:

$m = \frac{2 \cdot 1000 \cdot 2,0 \times 10^{-4} \cdot 100 \cdot 0,5}{10} = \frac{2 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-4} \cdot 10^2 \cdot 0,5}{10}$

$m = \frac{20}{10} = 2 \text{ кг}$

Ответ: масса воды, находящейся в воздухе, составляет 2 кг.