Номер 525, страница 109 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угол броска первого тела: $\alpha_1 = \alpha$

Угол броска второго тела: $\alpha_2 = \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$

Начальная скорость первого тела: $v_{01} = v_0$

Начальная скорость второго тела: $v_{02} = v_0$

Найти:

Отношение наибольших высот подъема: $\frac{H_1}{H_2}$

Отношение дальностей полета: $\frac{L_1}{L_2}$

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, описывается известными формулами для наибольшей высоты подъема $H$ и дальности полета $L$ (при условии отсутствия сопротивления воздуха).

Определите отношение наибольших высот подъема тел

Наибольшая высота подъема тела, брошенного под углом $\theta$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$, определяется по формуле:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g}$

где $g$ — ускорение свободного падения.

Для первого тела, брошенного под углом $\alpha$:

$H_1 = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Для второго тела, брошенного под углом $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$:

$H_2 = \frac{v_0^2 \sin^2(\beta)}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2g}$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$H_2 = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{2g}$

Теперь найдем отношение высот $\frac{H_1}{H_2}$:

$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}}{\frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{2g}} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \tan^2(\alpha)$

Ответ: Отношение наибольших высот подъема тел равно $\tan^2(\alpha)$.

Определите отношение дальностей полета

Дальность полета тела, брошенного под углом $\theta$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$, определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Для первого тела, брошенного под углом $\alpha$:

$L_1 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Для второго тела, брошенного под углом $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$:

$L_2 = \frac{v_0^2 \sin(2\beta)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2(\frac{\pi}{2} - \alpha))}{g} = \frac{v_0^2 \sin(\pi - 2\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin(x)$, получаем:

$L_2 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Теперь найдем отношение дальностей полета $\frac{L_1}{L_2}$:

$\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}}{\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}} = 1$

Это означает, что дальности полета тел, брошенных с одинаковой начальной скоростью под углами, составляющими в сумме $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан), равны.

Ответ: Отношение дальностей полета равно 1.