Номер 523, страница 108 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угол броска камня к горизонту — $\alpha$
$\sin \alpha = 0,8$

Найти:

Отношение дальности полета $L$ к максимальной высоте подъема $H_{max}$: $\frac{L}{H_{max}}$

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси с ускорением свободного падения $g$. Пусть начальная скорость камня равна $v_0$.

Дальность полета $L$ определяется по формуле: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, перепишем выражение для дальности полета: $L = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$

Максимальная высота подъема $H_{max}$ определяется по формуле: $H_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

Теперь найдем искомое отношение дальности полета к максимальной высоте, разделив одно выражение на другое: $\frac{L}{H_{max}} = \frac{\frac{v_0^2 \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}}{\frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}}$

Сократим одинаковые множители ($v_0^2$ и $g$) в числителе и знаменателе: $\frac{L}{H_{max}} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\sin^2 \alpha}{2}} = \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Сократим на $\sin \alpha$ (поскольку угол $\alpha$ не равен нулю, $\sin \alpha \neq 0$): $\frac{L}{H_{max}} = \frac{4 \cos \alpha}{\sin \alpha} = 4 \cot \alpha$

По условию задачи $\sin \alpha = 0,8$. Найдем значение $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Так как камень брошен под углом к горизонту, угол $0 < \alpha < 90^\circ$, и, следовательно, $\cos \alpha$ имеет положительное значение. $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$

Подставим значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ в полученную формулу для отношения: $\frac{L}{H_{max}} = \frac{4 \cdot 0,6}{0,8} = \frac{2,4}{0,8} = 3$

Ответ: отношение дальности полета к максимальной высоте подъема равно 3.