Номер 517, страница 108 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Коэффициент уменьшения высоты: $k = 4$

Коэффициент увеличения скорости: $n = 3$

Начальная высота: $h_1$

Начальная скорость: $v_1$

Новая высота: $h_2 = \frac{h_1}{k}$

Новая скорость: $v_2 = n \cdot v_1$

Найти:

Процентное увеличение дальности полета: $\frac{L_2 - L_1}{L_1} \cdot 100\%$

Решение:

Движение спортивного ядра, брошенного горизонтально, можно рассматривать как комбинацию двух независимых движений: равномерного движения по горизонтали и равноускоренного движения (свободного падения) по вертикали. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Время полета ядра $t$ зависит только от высоты броска $h$ и ускорения свободного падения $g$. Так как начальная вертикальная скорость равна нулю, связь между высотой и временем полета описывается формулой:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Из этой формулы можно выразить время полета:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Дальность полета $L$ — это расстояние, которое ядро проходит по горизонтали за время полета $t$. Поскольку горизонтальная скорость $v$ постоянна, дальность полета равна:

$L = v \cdot t$

Подставим выражение для времени $t$ в формулу для дальности полета, чтобы связать дальность со скоростью и высотой:

$L = v \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Рассмотрим два случая.

1. Начальные условия. Дальность полета $L_1$ при начальной высоте $h_1$ и начальной скорости $v_1$:

$L_1 = v_1 \cdot \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

2. Новые условия. Дальность полета $L_2$ при новой высоте $h_2 = \frac{h_1}{k} = \frac{h_1}{4}$ и новой скорости $v_2 = n \cdot v_1 = 3v_1$:

$L_2 = v_2 \cdot \sqrt{\frac{2h_2}{g}} = (3v_1) \cdot \sqrt{\frac{2(h_1/4)}{g}}$

Упростим полученное выражение для $L_2$:

$L_2 = 3v_1 \cdot \sqrt{\frac{2h_1}{4g}} = 3v_1 \cdot \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = 3v_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

Сгруппируем члены, чтобы выделить выражение для $L_1$:

$L_2 = \frac{3}{2} \cdot \left( v_1 \cdot \sqrt{\frac{2h_1}{g}} \right)$

Так как выражение в скобках равно $L_1$, получаем соотношение между новой и начальной дальностью полета:

$L_2 = \frac{3}{2} L_1 = 1.5 L_1$

Теперь найдем, на сколько процентов увеличилась дальность полета. Для этого используем стандартную формулу процентного изменения:

$\frac{L_2 - L_1}{L_1} \cdot 100\% = \frac{1.5 L_1 - L_1}{L_1} \cdot 100\% = \frac{0.5 L_1}{L_1} \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$

Ответ: дальность полета ядра увеличится на 50%.