Номер 513, страница 107 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_0 = 40 \frac{м}{с}$

$h = 100 \text{ м}$

$t_1 = 3,0 \text{ с}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$.

Найти:

$v_1$ — модуль скорости движения через время $t_1$.

$v_f$ — модуль скорости в момент падения на землю.

Решение:

Движение тела, брошенного горизонтально, представляет собой сумму двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения вдоль горизонтальной оси (со скоростью $v_0$) и равноускоренного движения (свободного падения) вдоль вертикальной оси (с начальной скоростью 0).

В любой момент времени $t$ проекции скорости тела на оси координат (горизонтальную Ox и вертикальную Oy, направленную вниз) равны:

Горизонтальная проекция скорости: $v_x(t) = v_0$.

Вертикальная проекция скорости: $v_y(t) = gt$.

Модуль (величина) полной скорости в момент времени $t$ находится по теореме Пифагора:

$v(t) = \sqrt{v_x(t)^2 + v_y(t)^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$.

Модуль скорости через время $t_1 = 3,0 \text{ с}$

Найдем проекции скорости в момент времени $t_1 = 3,0 \text{ с}$.

Горизонтальная проекция скорости не изменяется:

$v_{x1} = v_0 = 40 \frac{м}{с}$.

Вертикальная проекция скорости:

$v_{y1} = g t_1 = 10 \frac{м}{с^2} \cdot 3,0 \text{ с} = 30 \frac{м}{с}$.

Теперь найдем модуль полной скорости $v_1$:

$v_1 = \sqrt{v_{x1}^2 + v_{y1}^2} = \sqrt{(40 \frac{м}{с})^2 + (30 \frac{м}{с})^2} = \sqrt{1600 \frac{м^2}{с^2} + 900 \frac{м^2}{с^2}} = \sqrt{2500 \frac{м^2}{с^2}} = 50 \frac{м}{с}$.

Ответ: модуль скорости через 3,0 с равен $50 \frac{м}{с}$.

Модуль скорости в момент падения на землю

Для нахождения скорости в момент падения на землю удобно воспользоваться законом сохранения механической энергии, так как по условию задачи сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Начальная механическая энергия тела на высоте $h$ (сумма кинетической и потенциальной энергий):

$E_{нач} = E_{кин.нач} + E_{пот.нач} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$.

Конечная механическая энергия тела в момент падения на землю (в этот момент высота равна нулю, $h_f=0$):

$E_{кон} = \frac{1}{2}mv_f^2$.

Согласно закону сохранения энергии, $E_{нач} = E_{кон}$:

$\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_f^2$.

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения и умножим на 2:

$v_0^2 + 2gh = v_f^2$.

Отсюда выразим и найдем модуль конечной скорости $v_f$:

$v_f = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$.

Подставим числовые значения:

$v_f = \sqrt{(40 \frac{м}{с})^2 + 2 \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot 100 \text{ м}} = \sqrt{1600 \frac{м^2}{с^2} + 2000 \frac{м^2}{с^2}} = \sqrt{3600 \frac{м^2}{с^2}} = 60 \frac{м}{с}$.

Ответ: модуль скорости в момент падения на землю равен $60 \frac{м}{с}$.