Номер 506, страница 106 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_0 = 0$ м/с
$\Delta t_1 = 1.0$ с
$\Delta t_2 = 0.20$ с
$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

$H$ - ?

Решение:

Движение тела является свободным падением, то есть равноускоренным движением с ускорением $g$ и начальной скоростью $v_0 = 0$.

Путь, пройденный телом за время $t$, определяется по формуле: $h(t) = \frac{gt^2}{2}$.

1. Найдем путь $s_1$, пройденный телом за первый промежуток времени $\Delta t_1 = 1.0$ с. Поскольку движение начинается из состояния покоя, время $t$ равно $\Delta t_1$.

$s_1 = \frac{g(\Delta t_1)^2}{2}$

2. Пусть $T$ — полное время падения тела. Последний промежуток времени $\Delta t_2 = 0.20$ с начинается в момент времени $t' = T - \Delta t_2$ и заканчивается в момент $T$. Путь $s_2$, пройденный за этот промежуток, равен разности полного пути $H$ и пути, пройденного за время $t'$.

Полный путь (высота) $H = \frac{gT^2}{2}$.

Путь за время $t' = T - \Delta t_2$: $h(t') = \frac{g(T - \Delta t_2)^2}{2}$.

Тогда путь за последний промежуток времени $\Delta t_2$ равен:

$s_2 = H - h(t') = \frac{gT^2}{2} - \frac{g(T - \Delta t_2)^2}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$s_2 = \frac{g}{2} (T^2 - (T^2 - 2T\Delta t_2 + (\Delta t_2)^2)) = \frac{g}{2} (2T\Delta t_2 - (\Delta t_2)^2)$

3. По условию задачи пути $s_1$ и $s_2$ равны. Приравняем выражения для них, чтобы найти полное время падения $T$.

$s_1 = s_2$

$\frac{g(\Delta t_1)^2}{2} = \frac{g}{2} (2T\Delta t_2 - (\Delta t_2)^2)$

Сократим $\frac{g}{2}$:

$(\Delta t_1)^2 = 2T\Delta t_2 - (\Delta t_2)^2$

Выразим $T$:

$2T\Delta t_2 = (\Delta t_1)^2 + (\Delta t_2)^2$

$T = \frac{(\Delta t_1)^2 + (\Delta t_2)^2}{2\Delta t_2}$

4. Подставим числовые значения и вычислим $T$:

$T = \frac{(1.0 \text{ с})^2 + (0.20 \text{ с})^2}{2 \cdot 0.20 \text{ с}} = \frac{1.0 \text{ с}^2 + 0.04 \text{ с}^2}{0.40 \text{ с}} = \frac{1.04 \text{ с}^2}{0.40 \text{ с}} = 2.6 \text{ с}$

5. Зная полное время падения $T$, найдем высоту $H$, с которой упало тело:

$H = \frac{gT^2}{2} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (2.6 \text{ с})^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 6.76}{2} \text{ м} \approx 33.124 \text{ м}$

С учетом точности исходных данных (две значащие цифры), округлим результат.

$H \approx 33 \text{ м}$

Ответ: тело упало с высоты $H \approx 33$ м.