Номер 504, страница 106 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Время подъема с ускорением: $t_1 = 20 \text{ с}$

Ускорение на первом этапе: $a_1 = 0.8g$

Ускорение свободного падения: $g$

Все данные представлены в единицах СИ, перевод не требуется.

Найти:

$t_2$ — время полета ракеты после выключения двигателей до падения на землю.

Решение:

Движение ракеты можно разделить на два этапа.

1. Первый этап: Ракета поднимается с постоянным ускорением $a_1$ в течение времени $t_1$.

Найдем высоту $h_1$ и скорость $v_1$, которых ракета достигнет к моменту выключения двигателей. Начальная скорость равна нулю.

Высота подъема: $h_1 = \frac{a_1 t_1^2}{2}$

Скорость в конце этапа: $v_1 = a_1 t_1$

2. Второй этап: После выключения двигателей ракета движется только под действием силы тяжести, то есть с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз. Это движение является свободным падением с начальной скоростью $v_1$, направленной вверх, с высоты $h_1$.

Выберем ось OY, направленную вертикально вверх, с началом на поверхности земли. Тогда уравнение движения ракеты на втором этапе имеет вид:

$h(t) = h_1 + v_1 t - \frac{g t^2}{2}$

Здесь $t$ — это время, прошедшее с момента выключения двигателей. Мы ищем время $t_2$, когда ракета упадет на землю, то есть ее высота станет равной нулю: $h(t_2) = 0$.

$0 = h_1 + v_1 t_2 - \frac{g t_2^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражения для $h_1$ и $v_1$ из первого этапа:

$0 = \frac{a_1 t_1^2}{2} + (a_1 t_1) t_2 - \frac{g t_2^2}{2}$

Теперь подставим значение $a_1 = 0.8g$:

$0 = \frac{0.8g \cdot t_1^2}{2} + (0.8g \cdot t_1) t_2 - \frac{g t_2^2}{2}$

$0 = 0.4g t_1^2 + 0.8g t_1 t_2 - 0.5g t_2^2$

Так как $g \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $g$:

$0 = 0.4 t_1^2 + 0.8 t_1 t_2 - 0.5 t_2^2$

Умножим на 10, чтобы избавиться от дробей, и перепишем в стандартном виде квадратного уравнения относительно $t_2$:

$5 t_2^2 - 8 t_1 t_2 - 4 t_1^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-8t_1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4t_1^2) = 64t_1^2 + 80t_1^2 = 144t_1^2$

Найдем корни уравнения:

$t_2 = \frac{-(-8t_1) \pm \sqrt{144t_1^2}}{2 \cdot 5} = \frac{8t_1 \pm 12t_1}{10}$

Поскольку время $t_2$ не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком "плюс":

$t_2 = \frac{8t_1 + 12t_1}{10} = \frac{20t_1}{10} = 2t_1$

Теперь подставим числовое значение $t_1$:

$t_2 = 2 \cdot 20 \text{ с} = 40 \text{ с}$

Ответ: через 40 с после выключения двигателей ракета упадет на землю.