Номер 502, страница 106 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная скорость тел, $v_0 = 4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Расстояние от начальной точки, на котором тела встретятся, $h$.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Начало координат ($y=0$) поместим в точку броска, а ось $OY$ направим вертикально вверх. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

1. Найдем время подъема первого тела до высшей точки траектории. В этой точке его скорость становится равной нулю. Уравнение скорости для тела, движущегося под действием силы тяжести, имеет вид:

$v(t) = v_0 - gt$

В момент времени $t_{под}$, когда тело достигает максимальной высоты, его скорость $v(t_{под}) = 0$.

$0 = v_0 - gt_{под} \implies t_{под} = \frac{v_0}{g}$

Это время, в которое будет брошено второе тело.

2. Найдем максимальную высоту $H_{max}$, на которую поднимется первое тело. Используем уравнение координаты:

$y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

$H_{max} = y(t_{под}) = v_0 \left(\frac{v_0}{g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

3. Теперь запишем уравнения движения для обоих тел, ведя отсчет времени $t'$ с момента броска второго тела. В этот момент ($t'=0$) первое тело находится на высоте $H_{max}$ и его начальная скорость равна нулю (оно начинает свободно падать). Второе тело бросают из начальной точки ($y=0$) с начальной скоростью $v_0$.

Уравнение движения для первого тела:

$y_1(t') = H_{max} - \frac{g(t')^2}{2}$

Уравнение движения для второго тела:

$y_2(t') = v_0 t' - \frac{g(t')^2}{2}$

4. Тела встретятся, когда их координаты будут равны: $y_1(t'_{встр}) = y_2(t'_{встр})$.

$H_{max} - \frac{g(t'_{встр})^2}{2} = v_0 t'_{встр} - \frac{g(t'_{встр})^2}{2}$

Слагаемые с ускорением свободного падения сокращаются:

$H_{max} = v_0 t'_{встр}$

Отсюда можно найти время до встречи $t'_{встр}$ (с момента броска второго тела):

$t'_{встр} = \frac{H_{max}}{v_0}$

Подставим ранее найденное выражение для $H_{max}$:

$t'_{встр} = \frac{v_0^2 / (2g)}{v_0} = \frac{v_0}{2g}$

5. Найдем высоту встречи $h$, подставив время $t'_{встр}$ в уравнение для координаты второго тела (так как это проще):

$h = y_2(t'_{встр}) = v_0 t'_{встр} - \frac{g(t'_{встр})^2}{2}$

Подставим выражение для $t'_{встр} = \frac{v_0}{2g}$:

$h = v_0 \left(\frac{v_0}{2g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{2g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2}\frac{v_0^2}{4g^2} = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{v_0^2}{8g}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$h = \frac{4v_0^2 - v_0^2}{8g} = \frac{3v_0^2}{8g}$

6. Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{3 \cdot (4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{8 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{3 \cdot 16 \text{ м}^2/\text{с}^2}{78,4 \text{ м}/\text{с}^2} = \frac{48}{78,4} \text{ м} \approx 0,6122 \text{ м}$

Начальная скорость дана с двумя значащими цифрами, поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр.

Ответ: тела встретятся на расстоянии $h \approx 0,61 \text{ м}$ от начальной точки.