Номер 501, страница 106 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$H = 3,2$ м

$k = 1,5$

Найти:

$h$

Решение:

1. Сначала определим скорость первого шарика ($v_1$) в момент его падения на землю. При свободном падении с высоты $H$ без начальной скорости, его конечную скорость можно найти из формулы, связывающей перемещение и скорость при равноускоренном движении, или из закона сохранения энергии. Из закона сохранения энергии $mgH = \frac{mv_1^2}{2}$ получаем:

$v_1^2 = 2gH \implies v_1 = \sqrt{2gH}$

2. Начальная скорость второго шарика ($v_{02}$), брошенного вверх, по условию в $k$ раз меньше скорости $v_1$:

$v_{02} = \frac{v_1}{k} = \frac{\sqrt{2gH}}{k}$

3. Запишем уравнения движения для обоих шариков. Выберем систему отсчета, связанную с землей, с осью OY, направленной вертикально вверх, и началом координат на поверхности земли ($y=0$).

Уравнение движения для первого шарика, который падает с высоты $H$:

$y_1(t) = H - \frac{gt^2}{2}$

Уравнение движения для второго шарика, который брошен вверх с земли:

$y_2(t) = v_{02}t - \frac{gt^2}{2}$

4. Шарики встретятся в тот момент времени $t_{встр}$, когда их координаты станут равны. Обозначим эту высоту встречи как $h$. Таким образом, $y_1(t_{встр}) = y_2(t_{встр}) = h$.

$H - \frac{gt_{встр}^2}{2} = v_{02}t_{встр} - \frac{gt_{встр}^2}{2}$

Как видно, слагаемые, содержащие ускорение свободного падения $g$, взаимно уничтожаются:

$H = v_{02}t_{встр}$

Из этого соотношения находим время до встречи:

$t_{встр} = \frac{H}{v_{02}}$

5. Чтобы найти высоту встречи $h$, подставим найденное время $t_{встр}$ в одно из уравнений движения, например, для второго шарика:

$h = y_2(t_{встр}) = v_{02}t_{встр} - \frac{gt_{встр}^2}{2}$

Поскольку мы уже знаем, что $v_{02}t_{встр} = H$, то:

$h = H - \frac{gt_{встр}^2}{2}$

Теперь подставим в это уравнение выражение для времени $t_{встр} = \frac{H}{v_{02}}$ и для квадрата скорости $v_{02}^2 = \left(\frac{\sqrt{2gH}}{k}\right)^2 = \frac{2gH}{k^2}$:

$h = H - \frac{g}{2}\left(\frac{H}{v_{02}}\right)^2 = H - \frac{gH^2}{2v_{02}^2} = H - \frac{gH^2}{2 \cdot \frac{2gH}{k^2}}$

Упростим полученное выражение, сократив $g$ и $H$:

$h = H - \frac{gH^2k^2}{4gH} = H - \frac{Hk^2}{4}$

Вынесем $H$ за скобки, чтобы получить итоговую формулу:

$h = H\left(1 - \frac{k^2}{4}\right)$

6. Подставим числовые значения из условия:

$h = 3,2 \cdot \left(1 - \frac{1,5^2}{4}\right) = 3,2 \cdot \left(1 - \frac{2,25}{4}\right) = 3,2 \cdot (1 - 0,5625)$

$h = 3,2 \cdot 0,4375 = 1,4$ м.

Ответ: шарики встретятся на высоте $h = 1,4$ м.