Номер 494, страница 105 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота падения $h = 3,0$ м
Начальная скорость $v_0 = 2,0$ м/с
Ускорение свободного падения (принимаем) $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

Части $h_1, h_2, h_3$, на которые делится высота $h$.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Направим ось OY вертикально вниз, а начало отсчета поместим в точке начала падения шарика. В этой системе отсчета начальная координата $y_0 = 0$, начальная скорость $v_0$ и ускорение свободного падения $g$ направлены в одну сторону и, следовательно, положительны.

Движение шарика является равноускоренным, и его перемещение $y$ за время $\tau$ описывается уравнением:$y(\tau) = v_0 \tau + \frac{g\tau^2}{2}$

По условию задачи, вся высота $h$ делится на три участка $h_1, h_2, h_3$, каждый из которых шарик проходит за одинаковое время $t$. Таким образом, общее время падения $T$ равно сумме трех этих интервалов: $T = 3t$.

Запишем уравнение для полного пути $h$, пройденного за общее время $T = 3t$:$h = v_0 (3t) + \frac{g(3t)^2}{2} = 3v_0 t + \frac{9gt^2}{2}$

Подставим известные значения ($h = 3,0$ м, $v_0 = 2,0$ м/с). Для удобства расчетов и учитывая, что в подобных задачах часто используется округленное значение, примем $g = 10 \text{ м/с}^2$.$3,0 = 3 \cdot 2,0 \cdot t + \frac{9 \cdot 10 \cdot t^2}{2}$$3 = 6t + 45t^2$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$:$45t^2 + 6t - 3 = 0$Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:$15t^2 + 2t - 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 2^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-1) = 4 + 60 = 64$Корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 15} = \frac{-2 \pm 8}{30}$

Поскольку время $t$ не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:$t = \frac{-2 + 8}{30} = \frac{6}{30} = 0,2 \text{ с}$

Зная время $t=0,2$ с, которое требуется для прохождения каждого участка, мы можем рассчитать их длины.

Длина первого участка $h_1$ (путь, пройденный за время от 0 до $t$):$h_1 = v_0 t + \frac{gt^2}{2} = 2,0 \cdot 0,2 + \frac{10 \cdot (0,2)^2}{2} = 0,4 + \frac{10 \cdot 0,04}{2} = 0,4 + 0,2 = 0,6 \text{ м}$

Для нахождения длины второго участка $h_2$, найдем сначала общий путь $H_{2t}$, пройденный шариком за время $2t = 0,4$ с от начала движения:$H_{2t} = v_0 (2t) + \frac{g(2t)^2}{2} = 2,0 \cdot 0,4 + \frac{10 \cdot (0,4)^2}{2} = 0,8 + \frac{10 \cdot 0,16}{2} = 0,8 + 0,8 = 1,6 \text{ м}$Длина второго участка $h_2$ равна разности путей $H_{2t}$ и $h_1$:$h_2 = H_{2t} - h_1 = 1,6 - 0,6 = 1,0 \text{ м}$

Длину третьего участка $h_3$ можно найти, вычтя из общей высоты $h$ длины первых двух участков:$h_3 = h - h_1 - h_2 = 3,0 - 0,6 - 1,0 = 1,4 \text{ м}$

Проверим правильность расчетов: $h_1 + h_2 + h_3 = 0,6 \text{ м} + 1,0 \text{ м} + 1,4 \text{ м} = 3,0 \text{ м}$. Сумма длин участков равна исходной высоте.

Ответ: Высоту $h = 3,0$ м следует разделить на три части: первая часть $0,6$ м, вторая часть $1,0$ м, третья часть $1,4$ м.