Номер 487, страница 104 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$h = \frac{8}{9}h_{max}$

Найти:

$\frac{v_0}{v} - ?$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии, пренебрегая сопротивлением воздуха. Пусть $v_0$ — начальная скорость тела, $v$ — скорость тела на высоте $h$, $h_{max}$ — максимальная высота подъема, $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения.

В начальный момент времени, на поверхности земли (высота равна нулю), полная механическая энергия тела $E_0$ равна его кинетической энергии:
$E_0 = \frac{mv_0^2}{2}$

На максимальной высоте подъема $h_{max}$ скорость тела обращается в ноль, и его полная механическая энергия $E_{max}$ равна его потенциальной энергии:
$E_{max} = mgh_{max}$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы остается постоянной: $E_0 = E_{max}$.
$\frac{mv_0^2}{2} = mgh_{max}$

Теперь рассмотрим состояние тела на высоте $h = \frac{8}{9}h_{max}$. На этой высоте его полная механическая энергия $E_h$ складывается из кинетической и потенциальной энергий:
$E_h = \frac{mv^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2} + mg(\frac{8}{9}h_{max})$

По закону сохранения энергии, $E_0 = E_h$:
$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mg(\frac{8}{9}h_{max})$

Из ранее полученного соотношения $\frac{mv_0^2}{2} = mgh_{max}$, мы можем заменить $mgh_{max}$ на $\frac{mv_0^2}{2}$.
$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{8}{9} \cdot (\frac{mv_0^2}{2})$

Сократим обе части уравнения на $\frac{m}{2}$:
$v_0^2 = v^2 + \frac{8}{9}v_0^2$

Выразим квадрат скорости $v^2$:
$v^2 = v_0^2 - \frac{8}{9}v_0^2 = v_0^2(1 - \frac{8}{9}) = \frac{1}{9}v_0^2$

Извлекая квадратный корень, находим соотношение между скоростями $v$ и $v_0$:
$v = \sqrt{\frac{1}{9}v_0^2} = \frac{1}{3}v_0$

Вопрос задачи состоит в том, во сколько раз скорость на высоте $h$ меньше начальной скорости. Для этого необходимо найти отношение $\frac{v_0}{v}$:
$\frac{v_0}{v} = \frac{v_0}{\frac{1}{3}v_0} = 3$

Ответ: скорость движения тела на высоте, составляющей $\frac{8}{9}$ максимальной высоты подъема, в 3 раза меньше начальной скорости.