Номер 484, страница 104 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$t_1 = 1$ с

$h_1 = 15$ м

$\Delta t = 2$ с

$g \approx 10$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$S_{1-3}$ — путь, пройденный телом за следующие две секунды полета (в интервале времени от $t=1$ с до $t=3$ с).

Решение:

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным. Высота подъема тела в зависимости от времени описывается уравнением: $h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$, где $v_0$ — начальная скорость, $t$ — время полета, $g$ — ускорение свободного падения.

1. Найдем начальную скорость $v_0$, с которой было брошено тело. Мы знаем, что за первую секунду ($t_1 = 1$ с) тело поднялось на высоту $h_1 = 15$ м. Подставим эти значения в уравнение движения:

$h_1 = v_0 t_1 - \frac{gt_1^2}{2}$

$15 = v_0 \cdot 1 - \frac{10 \cdot 1^2}{2}$

$15 = v_0 - 5$

Отсюда находим начальную скорость:

$v_0 = 15 + 5 = 20$ м/с

2. Определим, сколько времени тело будет подниматься до максимальной высоты. В верхней точке траектории его скорость станет равной нулю. Уравнение скорости для данного движения: $v(t) = v_0 - gt$.

$0 = v_0 - gt_{подъема}$

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{10} = 2$ с

3. Нам нужно найти путь, пройденный телом за следующие две секунды, то есть в интервале времени от $t=1$ с до $t=3$ с. Поскольку время подъема составляет 2 с, то в этом интервале тело сначала 1 секунду (с 1 с до 2 с) двигалось вверх, а затем 1 секунду (с 2 с до 3 с) падало вниз.

4. Рассчитаем путь для каждого участка. Путь — это скалярная величина, поэтому общий путь будет равен сумме длин участков, пройденных вверх и вниз.

а) Путь вверх с $t=1$ с до $t=2$ с. Сначала найдем максимальную высоту подъема $H_{max}$, которую тело достигнет в момент времени $t_{подъема} = 2$ с:

$H_{max} = v_0 t_{подъема} - \frac{g t_{подъема}^2}{2} = 20 \cdot 2 - \frac{10 \cdot 2^2}{2} = 40 - 20 = 20$ м

Высота, на которой находилось тело в момент $t=1$ с, нам дана: $h(1) = 15$ м. Таким образом, за время с 1-й по 2-ю секунду тело прошло вверх путь:

$S_{вверх} = H_{max} - h(1) = 20 \text{ м} - 15 \text{ м} = 5$ м

б) Путь вниз с $t=2$ с до $t=3$ с. В этот промежуток времени (длительностью $3-2=1$ с) тело свободно падает с максимальной высоты с начальной скоростью, равной нулю. Путь, пройденный при свободном падении, вычисляется по формуле: $S = \frac{gt^2}{2}$.

$S_{вниз} = \frac{g(\Delta t')^2}{2} = \frac{10 \cdot 1^2}{2} = 5$ м

5. Общий путь, пройденный телом за следующие две секунды, равен сумме путей, пройденных вверх и вниз.

$S_{1-3} = S_{вверх} + S_{вниз} = 5 \text{ м} + 5 \text{ м} = 10$ м

Ответ: за следующие две секунды полета тело прошло путь 10 м.