Номер 490, страница 104 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (начальная скорость)

$n = 5.0$

В расчетах принимаем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$H$ — высота падения.

Решение:

Движение сосульки является свободным падением, то есть равноускоренным движением без начальной скорости. Путь, пройденный телом за время $t$, описывается формулой:

$h(t) = \frac{gt^2}{2}$

Найдем путь $h_1$, пройденный сосулькой за первую секунду движения, подставив $t_1 = 1 \text{ с}$:

$h_1 = \frac{g \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = \frac{g}{2}$

Пусть $t_{полн}$ — полное время падения сосульки. Путь, пройденный за последнюю секунду движения, $\Delta h_{посл}$, можно найти как разность между полным путем $H$, пройденным за время $t_{полн}$, и путем $h_{t-1}$, пройденным за время $(t_{полн} - 1 \text{ с})$.

Полный путь $H = h(t_{полн}) = \frac{gt_{полн}^2}{2}$.

Путь за время $(t_{полн} - 1 \text{ с})$ равен $h_{t-1} = \frac{g(t_{полн} - 1)^2}{2}$.

Тогда путь за последнюю секунду:

$\Delta h_{посл} = H - h_{t-1} = \frac{gt_{полн}^2}{2} - \frac{g(t_{полн} - 1)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки и упростим выражение:

$\Delta h_{посл} = \frac{g}{2} [t_{полн}^2 - (t_{полн} - 1)^2] = \frac{g}{2} [t_{полн}^2 - (t_{полн}^2 - 2t_{полн} + 1)] = \frac{g}{2} (2t_{полн} - 1)$

По условию задачи, путь за последнюю секунду в $n=5.0$ раз больше пути за первую секунду:

$\Delta h_{посл} = n \cdot h_1$

Подставим полученные выражения в это соотношение:

$\frac{g}{2} (2t_{полн} - 1) = 5.0 \cdot \frac{g}{2}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{g}{2}$, так как $g \neq 0$:

$2t_{полн} - 1 = 5.0$

$2t_{полн} = 5.0 + 1 = 6.0$

$t_{полн} = \frac{6.0}{2} = 3.0 \text{ с}$

Теперь, зная полное время падения, мы можем найти начальную высоту $H$:

$H = \frac{gt_{полн}^2}{2}$

Подставим числовые значения $t_{полн} = 3.0 \text{ с}$ и $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$H = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (3.0 \text{ с})^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 9.0}{2} \text{ м} = 4.9 \cdot 9.0 \text{ м} = 44.1 \text{ м}$

Ответ: сосулька падала с высоты $44.1 \text{ м}$.