Номер 492, страница 105 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная скорость камня, $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Путь, пройденный за последнюю секунду падения, $h_1 = 25 \text{ м}$

Время последней секунды, $\Delta t = 1 \text{ с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (стандартное приближение для учебных задач)

Найти:

С какой высоты упал камень, $H - ?$

Решение:

Обозначим полное время падения камня как $t$, а общую высоту, с которой он упал, как $H$. Движение камня является равноускоренным (свободное падение) без начальной скорости. Формула для высоты падения за время $t$ имеет вид:

$H = \frac{gt^2}{2}$

Путь, который камень прошел за время $(t - 1)$ секунды (то есть до начала последней секунды), равен:

$H_{t-1} = \frac{g(t - 1)^2}{2}$

Путь $h_1$, пройденный за последнюю секунду, является разностью между общей высотой $H$ и высотой $H_{t-1}$:

$h_1 = H - H_{t-1}$

Подставим в это уравнение выражения для $H$ и $H_{t-1}$:

$h_1 = \frac{gt^2}{2} - \frac{g(t - 1)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки:

$h_1 = \frac{g}{2}(t^2 - (t - 1)^2)$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов или возведение в квадрат:

$h_1 = \frac{g}{2}(t^2 - (t^2 - 2t + 1))$

$h_1 = \frac{g}{2}(t^2 - t^2 + 2t - 1)$

$h_1 = \frac{g}{2}(2t - 1)$

Теперь мы можем выразить полное время падения $t$ из этого уравнения, подставив известные значения $h_1 = 25 \text{ м}$ и $g = 10 \text{ м/с}^2$:

$25 = \frac{10}{2}(2t - 1)$

$25 = 5(2t - 1)$

Разделим обе части на 5:

$5 = 2t - 1$

$2t = 5 + 1$

$2t = 6$

$t = 3 \text{ с}$

Таким образом, общее время падения камня составляет 3 секунды. Теперь найдем общую высоту падения $H$, используя формулу для полного пути:

$H = \frac{gt^2}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (3 \text{ с})^2}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \text{ м}$

Ответ: камень упал с высоты 45 м.