Номер 488, страница 104 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Время, в которое камень находился на высоте h в первый раз, $t_1 = 0,8$ с.

Время, в которое камень находился на высоте h во второй раз, $t_2 = 1,5$ с.

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Высота $h$.

Решение:

Движение камня, брошенного вертикально вверх, является равноускоренным. Зависимость высоты $h$ от времени $t$ при движении из точки с нулевой начальной координатой описывается уравнением:

$h(t) = v_0 t - \frac{g t^2}{2}$

где $v_0$ — начальная скорость камня, а $g$ — ускорение свободного падения. Знак "минус" перед вторым слагаемым указывает на то, что ускорение направлено противоположно начальной скорости (вниз).

По условию задачи, камень находится на одной и той же высоте $h$ в моменты времени $t_1$ и $t_2$. Это позволяет нам составить систему из двух уравнений:

$h = v_0 t_1 - \frac{g t_1^2}{2}$ (1)

$h = v_0 t_2 - \frac{g t_2^2}{2}$ (2)

Так как левые части уравнений равны (это одна и та же высота $h$), мы можем приравнять их правые части:

$v_0 t_1 - \frac{g t_1^2}{2} = v_0 t_2 - \frac{g t_2^2}{2}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $v_0$, в левой части, а остальные — в правой, чтобы выразить начальную скорость $v_0$:

$v_0 t_1 - v_0 t_2 = \frac{g t_1^2}{2} - \frac{g t_2^2}{2}$

$v_0 (t_1 - t_2) = \frac{g}{2} (t_1^2 - t_2^2)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к правой части уравнения:

$v_0 (t_1 - t_2) = \frac{g}{2} (t_1 - t_2)(t_1 + t_2)$

Поскольку $t_1 \neq t_2$, мы можем разделить обе части уравнения на множитель $(t_1 - t_2)$:

$v_0 = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$

Теперь, имея выражение для начальной скорости $v_0$, подставим его в любое из исходных уравнений для высоты, например, в первое:

$h = \left( \frac{g(t_1 + t_2)}{2} \right) t_1 - \frac{g t_1^2}{2}$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$h = \frac{g t_1^2 + g t_1 t_2}{2} - \frac{g t_1^2}{2} = \frac{g t_1^2}{2} + \frac{g t_1 t_2}{2} - \frac{g t_1^2}{2}$

После сокращения подобных слагаемых получаем простую формулу для высоты $h$:

$h = \frac{g t_1 t_2}{2}$

Подставим в эту формулу числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 \text{ с} \cdot 1,5 \text{ с}}{2} = \frac{9,8 \cdot 1,2}{2} \text{ м} = 4,9 \cdot 1,2 \text{ м} = 5,88 \text{ м}$

Ответ: высота, на которой камень побывал дважды, равна 5,88 м.