Номер 493, страница 105 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$h_1 = 45$ м (путь за последнюю секунду)

$v_0 = 20$ м/с (начальная скорость)

$g \approx 10$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$t$ — полное время падения

$H$ — полная высота падения

Решение:

Движение тела является равноускоренным. Выберем систему отсчета, в которой ось OY направлена вертикально вниз, а начало отсчета (Y=0) совпадает с начальным положением тела. В этом случае проекции начальной скорости и ускорения на ось OY положительны.

Путь, пройденный телом за произвольное время $\tau$, описывается уравнением:

$h(\tau) = v_0 \tau + \frac{g\tau^2}{2}$

Пусть $t$ — это полное время падения тела. Тогда полная высота падения $H$ равна пути, пройденному за время $t$:

$H = h(t) = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Путь, пройденный телом за время $(t-1)$ секунд (то есть, до начала последней секунды), равен:

$h(t-1) = v_0 (t-1) + \frac{g(t-1)^2}{2}$

Путь $h_1$, пройденный за последнюю секунду, — это разность между полной высотой падения $H$ и путем, пройденным за $(t-1)$ секунд:

$h_1 = H - h(t-1)$

Подставим выражения для $H$ и $h(t-1)$:

$h_1 = \left(v_0 t + \frac{gt^2}{2}\right) - \left(v_0 (t-1) + \frac{g(t-1)^2}{2}\right)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$h_1 = v_0 t + \frac{gt^2}{2} - \left(v_0 t - v_0 + \frac{g(t^2 - 2t + 1)}{2}\right)$

$h_1 = v_0 t + \frac{gt^2}{2} - v_0 t + v_0 - \frac{gt^2}{2} + \frac{2gt}{2} - \frac{g}{2}$

После сокращения слагаемых получаем:

$h_1 = v_0 + gt - \frac{g}{2}$

Теперь из этого уравнения можно выразить полное время падения $t$:

$gt = h_1 - v_0 + \frac{g}{2}$

$t = \frac{h_1 - v_0}{g} + \frac{1}{2}$

Подставим известные числовые значения:

$t = \frac{45 - 20}{10} + \frac{1}{2} = \frac{25}{10} + 0.5 = 2.5 + 0.5 = 3$ с.

Зная полное время падения $t=3$ с, мы можем найти полную высоту $H$, с которой падало тело, используя формулу для полного пути:

$H = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

$H = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 3 \text{ с} + \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (3 \text{ с})^2}{2} = 60 \text{ м} + \frac{10 \cdot 9}{2} \text{ м} = 60 \text{ м} + 45 \text{ м} = 105 \text{ м}.$

Ответ: тело падало в течение $t = 3$ с с высоты $H = 105$ м.