Номер 495, страница 105 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v = 5 \frac{м}{с}$
$v_0 = 10 \frac{м}{с}$

Найти:

$t$ - ?

Решение:

Задачу удобнее всего решать в системе отсчета, связанной с землей. Направим ось $OY$ вертикально вверх. За начало отсчета ($y=0$) примем положение аэростата и груза в момент броска ($t=0$).

Аэростат движется с постоянной скоростью вниз. Уравнение его движения (координаты в зависимости от времени) имеет вид:
$y_а(t) = y_{0а} + v_{а}t$
Поскольку в начальный момент аэростат находится в начале координат, $y_{0а} = 0$. Проекция его скорости на ось $OY$ отрицательна, так как он движется вниз: $v_а = -v = -5 \frac{м}{с}$.
Следовательно, закон движения для аэростата:
$y_а(t) = -vt$

Груз движется равноускоренно под действием силы тяжести. Его начальная скорость относительно земли направлена вверх. Уравнение движения для груза:
$y_г(t) = y_{0г} + v_{0г}t + \frac{a_гt^2}{2}$
Начальная координата груза $y_{0г} = 0$. Проекция начальной скорости на ось $OY$ положительна: $v_{0г} = v_0 = 10 \frac{м}{с}$. Проекция ускорения свободного падения отрицательна: $a_г = -g$. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$.
Следовательно, закон движения для груза:
$y_г(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Груз достигнет аэростата в тот момент времени $t$, когда их координаты будут равны: $y_г(t) = y_а(t)$.
$v_0t - \frac{gt^2}{2} = -vt$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и решим полученное уравнение относительно $t$:
$v_0t + vt - \frac{gt^2}{2} = 0$
Вынесем $t$ за скобки:
$t \cdot (v_0 + v - \frac{gt}{2}) = 0$

Данное уравнение имеет два корня. Первый корень $t_1 = 0$ соответствует начальному моменту времени, когда груз и аэростат находились в одной точке. Второй корень найдем из выражения в скобках:
$v_0 + v - \frac{gt}{2} = 0$
$\frac{gt}{2} = v_0 + v$
$t = \frac{2(v_0 + v)}{g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:
$t = \frac{2 \cdot (10 \frac{м}{с} + 5 \frac{м}{с})}{10 \frac{м}{с^2}} = \frac{2 \cdot 15 \frac{м}{с}}{10 \frac{м}{с^2}} = \frac{30}{10} с = 3 с$

Ответ: груз достигнет аэростата через 3 с.