Номер 505, страница 106 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$h_1 = 1 \text{ м}$ (первый метр пути)
$h_п = 1 \text{ м}$ (последний метр пути)
$k = \frac{t_п}{t_1} = 8,0$ (отношение времени прохождения последнего и первого метров)
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$v_0$ (модуль начальной скорости)

Решение:

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным с ускорением, равным по модулю ускорению свободного падения $g$.

Рассмотрим движение тела на последнем метре подъема. Этот участок пути тело проходит за время $t_п$. Движение на последнем метре подъема (от высоты $H-1$ до максимальной высоты $H$) по времени и характеру симметрично движению на первом метре свободного падения с вершины траектории, где мгновенная скорость равна нулю. Запишем уравнение для пути $h_п$ при свободном падении без начальной скорости:
$h_п = \frac{g t_п^2}{2}$
Отсюда можно выразить время $t_п$:
$t_п = \sqrt{\frac{2h_п}{g}}$

Согласно условию задачи, время прохождения последнего метра $t_п$ в $k$ раз больше времени прохождения первого метра $t_1$.
$t_п = k \cdot t_1$
Следовательно, время прохождения первого метра $t_1$ равно:
$t_1 = \frac{t_п}{k} = \frac{1}{k} \sqrt{\frac{2h_п}{g}}$

Теперь рассмотрим движение на первом метре подъема. Запишем уравнение для пути $h_1$ при движении с начальной скоростью $v_0$ и ускорением $-g$:
$h_1 = v_0 t_1 - \frac{g t_1^2}{2}$
Выразим из этого уравнения начальную скорость $v_0$:
$v_0 t_1 = h_1 + \frac{g t_1^2}{2}$
$v_0 = \frac{h_1}{t_1} + \frac{g t_1}{2}$

Подставим в это выражение найденное ранее выражение для $t_1$. Учитывая, что $h_1 = h_п = 1 \text{ м}$:
$v_0 = \frac{1}{\frac{1}{k} \sqrt{\frac{2}{g}}} + \frac{g}{2} \left( \frac{1}{k} \sqrt{\frac{2}{g}} \right)$
Упростим выражение:
$v_0 = k \sqrt{\frac{g}{2}} + \frac{g}{2k} \sqrt{\frac{2}{g}} = k \sqrt{\frac{g}{2}} + \frac{1}{k} \sqrt{\frac{g^2 \cdot 2}{4g}} = k \sqrt{\frac{g}{2}} + \frac{1}{k} \sqrt{\frac{g}{2}}$
Получаем итоговую формулу для начальной скорости:
$v_0 = \left( k + \frac{1}{k} \right) \sqrt{\frac{g}{2}}$

Теперь произведем вычисления, подставив числовые значения $k = 8,0$ и $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$:
$v_0 = \left( 8,0 + \frac{1}{8,0} \right) \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2}{2}} = (8,0 + 0,125) \sqrt{4,9 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 8,125 \cdot 2,2136... \text{ м/с} \approx 18,006 \text{ м/с}$

С учетом того, что значение $k$ дано с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $v_0 \approx 18 \text{ м/с}$.