Номер 508, страница 107 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота скалы: $h$
Начальная скорость первого камня: $v_{01} = 0$
Начальная скорость второго камня (модуль): $v_0$
Соотношение времен падения: $t_1 = k \cdot t_2$ (где $t_1$ и $t_2$ - времена падения первого и второго камня соответственно)

Найти:

1. Модуль начальной скорости $v_0$
2. Отношение модулей конечных скоростей $\frac{v_2}{v_1}$

Решение:

Введем систему отсчета с началом в точке броска (на краю скалы) и осью OY, направленной вертикально вниз. В этом случае проекция ускорения свободного падения на ось OY равна $g$. Движение обоих камней является равноускоренным.

Уравнение для высоты $h$ при равноускоренном движении из состояния покоя: $h = v_{0y}t + \frac{gt^2}{2}$.

Чему равен модуль этой скорости

1. Движение первого камня. Камень падает без начальной скорости ($v_{01} = 0$). Время его полета $t_1$.
$h = \frac{gt_1^2}{2}$
Отсюда выразим время полета первого камня:
$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

2. Движение второго камня. Камень бросают с начальной скоростью $v_0$, направленной вниз. Время его полета $t_2$.
$h = v_0 t_2 + \frac{gt_2^2}{2}$
По условию, $t_2 = \frac{t_1}{k}$. Подставим сюда найденное выражение для $t_1$:
$t_2 = \frac{1}{k}\sqrt{\frac{2h}{g}}$

3. Найдем $v_0$. Подставим выражение для $t_2$ в уравнение движения второго камня:
$h = v_0 \left(\frac{1}{k}\sqrt{\frac{2h}{g}}\right) + \frac{g}{2}\left(\frac{1}{k}\sqrt{\frac{2h}{g}}\right)^2$
Упростим второе слагаемое:
$h = \frac{v_0}{k}\sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{g}{2} \cdot \frac{1}{k^2} \cdot \frac{2h}{g} = \frac{v_0}{k}\sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{k^2}$
Теперь выразим $v_0$:
$h - \frac{h}{k^2} = \frac{v_0}{k}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
$h\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{v_0}{k}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
$h\frac{k^2 - 1}{k^2} = \frac{v_0}{k}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
$v_0 = h \frac{k^2 - 1}{k} \sqrt{\frac{g}{2h}} = \frac{k^2 - 1}{k} \sqrt{\frac{gh^2}{2h}} = \frac{k^2-1}{k}\sqrt{\frac{gh}{2}}$
Ответ: $v_0 = \frac{k^2-1}{k}\sqrt{\frac{gh}{2}}$

Во сколько раз отличаются модули конечной скорости движения камней

1. Найдем конечные скорости. Для нахождения конечных скоростей воспользуемся формулой, не зависящей от времени: $v^2 = v_0^2 + 2gh$.
Для первого камня ($v_{01} = 0$):
$v_1^2 = 0 + 2gh \implies v_1 = \sqrt{2gh}$
Для второго камня ($v_{02} = v_0$):
$v_2^2 = v_0^2 + 2gh \implies v_2 = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

2. Найдем отношение скоростей. Найдем отношение $\frac{v_2}{v_1}$:
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{v_0^2 + 2gh}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{v_0^2}{2gh} + 1}$
Подставим в это выражение квадрат найденной ранее начальной скорости $v_0$:
$v_0^2 = \left(\frac{k^2-1}{k}\sqrt{\frac{gh}{2}}\right)^2 = \frac{(k^2-1)^2}{k^2} \frac{gh}{2}$
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\frac{(k^2-1)^2}{k^2} \frac{gh}{2}}{2gh} + 1} = \sqrt{\frac{(k^2-1)^2}{4k^2} + 1}$
Приведем выражение под корнем к общему знаменателю:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{(k^2-1)^2 + 4k^2}{4k^2}} = \sqrt{\frac{k^4 - 2k^2 + 1 + 4k^2}{4k^2}} = \sqrt{\frac{k^4 + 2k^2 + 1}{4k^2}}$
Заметим, что числитель является полным квадратом суммы $(k^2+1)^2$, а знаменатель — квадратом $(2k)^2$:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{(k^2+1)^2}{(2k)^2}} = \frac{k^2+1}{2k}$
(Поскольку $t_1 > t_2$, то $k > 1$, следовательно, выражение $\frac{k^2+1}{2k}$ всегда положительно).
Ответ: Модули конечных скоростей отличаются в $\frac{k^2+1}{2k}$ раз (скорость второго камня больше).