Номер 522, страница 108 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная скорость камня $v_0 = 15 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Отношение максимальной скорости к минимальной $\frac{v_{max}}{v_{min}} = 3$

Ускорение свободного падения (примем) $g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Максимальную высоту подъема $H_{max}$

Решение:

Движение камня, брошенного под углом к горизонту, является движением с постоянным ускорением $\vec{g}$. Его можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Модуль скорости камня в любой точке траектории определяется выражением $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, где $v_x$ — это горизонтальная составляющая скорости, а $v_y$ — вертикальная.

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной в течение всего полета, так как в этом направлении не действуют силы. Вертикальная составляющая скорости $v_y$ изменяется под действием силы тяжести.

Минимальная скорость движения $v_{min}$ будет в наивысшей точке траектории. В этой точке вертикальная составляющая скорости на мгновение становится равной нулю ($v_y = 0$), а скорость тела равна своей горизонтальной составляющей:

$v_{min} = v_x$

Максимальная скорость $v_{max}$ (при условии, что камень бросают с поверхности земли и он падает на ту же поверхность) будет в момент броска и в момент падения. Это следует из закона сохранения механической энергии: скорость максимальна, когда потенциальная энергия минимальна (т.е. на начальной высоте). Таким образом, максимальная скорость равна начальной скорости:

$v_{max} = v_0$

Из условия задачи известно, что $v_{max} = 3 \cdot v_{min}$. Подставим в это соотношение найденные выражения для скоростей:

$v_0 = 3 \cdot v_x$

Отсюда можем вычислить значение горизонтальной составляющей скорости:

$v_x = \frac{v_0}{3} = \frac{15}{3} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Начальная скорость $v_0$ и ее составляющие (горизонтальная $v_{0x}$ и вертикальная $v_{0y}$) связаны теоремой Пифагора: $v_0^2 = v_{0x}^2 + v_{0y}^2$. Так как $v_x$ постоянна, то $v_{0x} = v_x$.

Найдем квадрат начальной вертикальной составляющей скорости:

$v_{0y}^2 = v_0^2 - v_x^2 = 15^2 - 5^2 = 225 - 25 = 200 \left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2$

Максимальная высота подъема $H_{max}$ находится по формуле для равноускоренного движения (вдоль вертикальной оси), связывающей перемещение, начальную и конечную скорости:

$H_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g}$

Подставим числовые значения и рассчитаем высоту:

$H_{max} = \frac{200 \text{ (м/с)}^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{200}{20} \text{ м} = 10 \text{ м}$

Ответ: максимальная высота подъема камня равна 10 м.