Номер 537, страница 110 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$r = 10 \text{ см}$

$μ = 0,25$

Перевод в систему СИ:

$r = 0,1 \text{ м}$

Найти:

$ω_{max}$ - ?

Решение:

На шайбу, находящуюся на вращающемся горизонтальном диске, действуют три силы:

1. 1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. 2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх.
3. 3. Сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально к оси вращения.

Эта сила трения покоя и является центростремительной силой, которая удерживает шайбу на окружности и заставляет ее двигаться с центростремительным ускорением $a_ц$.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a}_ц = \vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_{тр}$.

Спроецируем это уравнение на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру вращения диска.

В проекции на вертикальную ось OY: $N - mg = 0$, поскольку шайба не движется в вертикальном направлении. Отсюда следует, что сила нормальной реакции равна силе тяжести: $N = mg$.

В проекции на горизонтальную ось OX: $F_{тр} = ma_ц$.

Центростремительное ускорение $a_ц$ связано с угловой скоростью вращения $ω$ и радиусом $r$ по формуле: $a_ц = ω^2r$.

Подставив это в уравнение для горизонтальной оси, получаем: $F_{тр} = mω^2r$.

Шайба будет оставаться на диске до тех пор, пока необходимая для ее удержания сила трения $F_{тр}$ не превысит максимальное значение силы трения покоя $F_{тр.max}$. Максимальная сила трения покоя вычисляется по формуле $F_{тр.max} = μN$.

С учетом того, что $N = mg$, получаем: $F_{тр.max} = μmg$.

Таким образом, условие, при котором шайба еще не соскальзывает с диска, имеет вид: $F_{тр} \le F_{тр.max}$ $mω^2r \le μmg$

Максимальная угловая скорость $ω_{max}$ соответствует предельному случаю, когда сила трения достигает своего максимального значения: $mω_{max}^2r = μmg$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения: $ω_{max}^2r = μg$

Отсюда выражаем максимальную угловую скорость: $ω_{max} = \sqrt{\frac{μg}{r}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ и примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$: $ω_{max} = \sqrt{\frac{0,25 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{0,1 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{2,45}{0,1}} \text{ рад/с} = \sqrt{24,5} \text{ рад/с} \approx 4,95 \text{ рад/с}$

Ответ: максимальная угловая скорость вращения диска, при которой шайба еще не соскользнет с диска, составляет примерно $4,95 \text{ рад/с}$.