Номер 547, страница 112 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угловая скорость вращения чаши, $\omega = 5 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Модуль силы реакции опоры, $N = 2 F_g = 2mg$, где $F_g$ - сила тяжести шарика, $m$ - его масса

Поверхность гладкая (трение отсутствует)

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (примем это значение для упрощения расчетов)

Найти:

$R$ - радиус чаши

$h$ - расстояние от центра полусферы до горизонтальной плоскости, в которой вращается шарик

Решение:

Шарик вращается вместе с чашей, совершая равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости. На шарик действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности чаши, то есть по радиусу к центру полусферы.

Введем систему координат с началом в центре полусферы, ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально. Пусть $\alpha$ — угол между вертикальной осью и радиусом, проведенным к шарику. Тогда радиус окружности, по которой движется шарик, равен $r = R \sin\alpha$, а искомое расстояние $h$ (глубина) равно $h = R \cos\alpha$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Равнодействующая сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c = \omega^2 r$, направленное горизонтально к оси вращения.

Проекция на ось OY (вертикальная ось):

Сумма вертикальных сил равна нулю, так как шарик не движется по вертикали.

$N_y - F_g = 0$

$N \cos\alpha - mg = 0$

$N \cos\alpha = mg$

Проекция на ось OX (горизонтальная ось):

Равнодействующая горизонтальных сил создает центростремительное ускорение.

$N_x = ma_c$

$N \sin\alpha = m\omega^2 r$

Подставим в это уравнение выражение для радиуса вращения $r = R \sin\alpha$:

$N \sin\alpha = m\omega^2 (R \sin\alpha)$

По условию задачи, $N = 2mg$. Подставим это значение в уравнение для вертикальной оси:

$(2mg) \cos\alpha = mg$

Отсюда находим косинус угла $\alpha$:

$\cos\alpha = \frac{mg}{2mg} = \frac{1}{2}$

Теперь мы можем найти искомые величины.

Чему равен радиус чаши

Воспользуемся уравнением для горизонтальной оси: $N \sin\alpha = m\omega^2 (R \sin\alpha)$. Так как шарик находится не на дне чаши, $\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$. Сократив на $\sin\alpha$, получим:

$N = m\omega^2 R$

Подставим $N=2mg$:

$2mg = m\omega^2 R$

Сократив массу $m$, выразим радиус $R$:

$R = \frac{2g}{\omega^2}$

Подставим числовые значения:

$R = \frac{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{(5 \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2} = \frac{20}{25} \text{ м} = 0,8 \text{ м}$

Ответ: радиус чаши равен $0,8$ м.

Чему равно расстояние от центра полусферы до горизонтальной плоскости, в которой вращается шарик?

Искомое расстояние $h$ связано с радиусом чаши $R$ и углом $\alpha$ соотношением $h = R \cos\alpha$. Мы уже нашли $R = 0,8$ м и $\cos\alpha = 1/2$.

Подставим эти значения:

$h = 0,8 \text{ м} \cdot \frac{1}{2} = 0,4 \text{ м}$

Альтернативный способ: выразим $h$ через исходные данные. $h = R \cos\alpha = \left(\frac{2g}{\omega^2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{g}{\omega^2}$.

$h = \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{(5 \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2} = \frac{10}{25} \text{ м} = 0,4 \text{ м}$

Ответ: расстояние от центра полусферы до горизонтальной плоскости, в которой вращается шарик, равно $0,4$ м.