Номер 554, страница 114 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус поворота $R = 50$ м
Тангенс угла наклона $\text{tg}\,\alpha = 0,45$

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Модуль максимальной скорости $v_{max}$.

Решение:

На велосипедиста, движущегося по наклонному треку, действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно полотну трека. Силой трения по условию задачи можно пренебречь.

Движение по окружности происходит за счет центростремительной силы, которая является равнодействующей силы тяжести и силы реакции опоры. Эта равнодействующая сила направлена горизонтально к центру поворота.

Введем систему координат: ось $OY$ направим вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально к центру окружности, по которой движется велосипедист.

Разложим силу реакции опоры $\vec{N}$ на две составляющие: вертикальную $N_y$ и горизонтальную $N_x$. Угол $\alpha$ — это угол наклона трека к горизонту, следовательно, это также угол между силой $\vec{N}$ и вертикалью.

$N_x = N \sin\alpha$
$N_y = N \cos\alpha$

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат.

На ось $OY$: поскольку по вертикали движения нет, сумма проекций сил равна нулю.
$N_y - mg = 0 \implies N \cos\alpha = mg$
Отсюда выразим силу реакции опоры:
$N = \frac{mg}{\cos\alpha}$ (1)

На ось $OX$: горизонтальная составляющая силы реакции опоры сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$.
$N_x = ma_c \implies N \sin\alpha = m\frac{v^2}{R}$ (2)

Подставим выражение для $N$ из уравнения (1) в уравнение (2):
$\frac{mg}{\cos\alpha} \sin\alpha = m\frac{v^2}{R}$

Масса велосипедиста $m$ сокращается. Используя то, что $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\,\alpha$, получаем:
$g \cdot \text{tg}\,\alpha = \frac{v^2}{R}$

Из этого соотношения выражаем скорость $v$. В условиях отсутствия трения это единственная скорость, с которой можно пройти поворот, не соскальзывая, поэтому она и будет максимальной.
$v^2 = R \cdot g \cdot \text{tg}\,\alpha$
$v = \sqrt{R \cdot g \cdot \text{tg}\,\alpha}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.
$v = \sqrt{50 \cdot 10 \cdot 0,45} = \sqrt{500 \cdot 0,45} = \sqrt{225} = 15 \text{ м/с}$

Ответ: модуль максимальной скорости прохождения поворота равен 15 м/с.