Номер 558, страница 114 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$R = 0,75 \text{ км} = 750 \text{ м}$

$v = 72 \text{ км/ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

$l = 1,5 \text{ м}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$h$ — ?

Решение:

Для того чтобы устранить боковое давление колес на рельсы, необходимо, чтобы равнодействующая силы тяжести $m\vec{g}$ и силы нормальной реакции опоры $\vec{N}$ была направлена горизонтально к центру закругления и создавала необходимое центростремительное ускорение $a_c$.

Пусть внешний рельс поднят на высоту $h$ относительно внутреннего. Тогда полотно дороги будет наклонено на угол $\alpha$ к горизонту. На поезд (вагон) действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно полотну дороги.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось X, направленную к центру закругления, и вертикальную ось Y:

Ось X: $N \sin\alpha = ma_c$

Ось Y: $N \cos\alpha = mg$

Центростремительное ускорение поезда равно $a_c = \frac{v^2}{R}$. Подставим это в первое уравнение:

$N \sin\alpha = m \frac{v^2}{R}$

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить массу $m$ и силу реакции $N$:

$\frac{N \sin\alpha}{N \cos\alpha} = \frac{m v^2/R}{mg}$

$\tan\alpha = \frac{v^2}{gR}$

Высота подъема внешнего рельса $h$, ширина колеи $l$ и угол наклона $\alpha$ связаны соотношением в прямоугольном треугольнике, где $l$ — гипотенуза, а $h$ — катет, противолежащий углу $\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{h}{l}$

Для малых углов, характерных для железнодорожных путей, можно принять, что $\tan\alpha \approx \sin\alpha$. Тогда:

$\frac{h}{l} \approx \frac{v^2}{gR}$

Отсюда выразим искомую высоту $h$:

$h = l \frac{v^2}{gR}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$h = 1,5 \text{ м} \cdot \frac{(20 \text{ м/с})^2}{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 750 \text{ м}} = 1,5 \cdot \frac{400}{7350} \text{ м} \approx 0,0816 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры для удобства:

$h \approx 0,0816 \text{ м} = 8,16 \text{ см} \approx 8,2 \text{ см}$

Ответ: внешний рельс выше внутреннего примерно на $8,2$ см.