Номер 553, страница 114 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$R = 30$ м
$\mu = 0.75$
$m = 64$ кг
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ для упрощения расчетов.

Найти:

$v_{max}$ — максимальная скорость
$\alpha$ — угол отклонения от вертикали
$F_{вз}$ — сила взаимодействия мотоциклиста с сиденьем

Решение:

Определите модуль максимальной скорости, с которой может ехать по горизонтальной дороге мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 30 м, если коэффициент трения между колесами и дорогой μ = 0,75.

При движении мотоцикла по дуге окружности на горизонтальной дороге сила трения покоя между колесами и дорогой обеспечивает необходимое центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, в проекции на радиальное направление:

$F_{тр} = M a_ц$

где $M$ – общая масса мотоцикла и мотоциклиста, $a_ц = \frac{v^2}{R}$ – центростремительное ускорение. Максимальная скорость достигается, когда сила трения покоя достигает своего максимального значения $F_{тр, max} = \mu N$. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести $Mg$.

Следовательно, условие для максимальной скорости:

$\frac{Mv_{max}^2}{R} = \mu Mg$

Масса $M$ сокращается, и мы получаем формулу для максимальной скорости:

$v_{max} = \sqrt{\mu g R}$

Подставим числовые значения:

$v_{max} = \sqrt{0.75 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 30 \text{ м}} = \sqrt{225} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}$

Ответ: Модуль максимальной скорости мотоциклиста равен $15 \text{ м/с}$.

На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться?

Чтобы сохранить равновесие при повороте, мотоциклист наклоняется. Угол наклона $\alpha$ от вертикали определяется соотношением сил, действующих на систему "мотоциклист-мотоцикл". Равнодействующая силы тяжести и центростремительной силы должна быть скомпенсирована силой реакции опоры. Тангенс угла наклона равен отношению горизонтальной силы (центростремительной) к вертикальной (силе тяжести):

$\tan \alpha = \frac{F_{ц}}{F_{тяж}} = \frac{Mv_{max}^2/R}{Mg} = \frac{v_{max}^2}{gR}$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $v_{max}^2 = \mu g R$. Подставив это в выражение для тангенса, получим:

$\tan \alpha = \frac{\mu g R}{gR} = \mu$

Подставим значение коэффициента трения:

$\tan \alpha = 0.75$

Отсюда находим угол:

$\alpha = \arctan(0.75) \approx 37^\circ$

Ответ: Мотоциклист должен отклониться от вертикали на угол примерно $37^\circ$.

Определите модуль силы взаимодействия мотоциклиста массой m = 64 кг с сиденьем мотоцикла.

Рассмотрим силы, действующие только на мотоциклиста. Сила взаимодействия с сиденьем $F_{вз}$ сообщает мотоциклисту необходимое ускорение. Эту силу можно разложить на две составляющие: вертикальную $F_{вз, y}$, которая уравновешивает силу тяжести мотоциклиста, и горизонтальную $F_{вз, x}$, которая сообщает ему центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона для мотоциклиста:

В проекции на вертикальную ось:

$F_{вз, y} = mg$

В проекции на горизонтальную ось (к центру поворота):

$F_{вз, x} = ma_ц = m\frac{v_{max}^2}{R}$

Модуль полной силы взаимодействия $F_{вз}$ находится как гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами $F_{вз, x}$ и $F_{вз, y}$:

$F_{вз} = \sqrt{F_{вз, x}^2 + F_{вз, y}^2} = \sqrt{\left(m\frac{v_{max}^2}{R}\right)^2 + (mg)^2}$

Вычислим значения компонент силы:

$F_{вз, y} = 64 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 640 \text{ Н}$

$F_{вз, x} = 64 \text{ кг} \cdot \frac{(15 \text{ м/с})^2}{30 \text{ м}} = 64 \text{ кг} \cdot 7.5 \text{ м/с}^2 = 480 \text{ Н}$

Теперь найдем модуль полной силы:

$F_{вз} = \sqrt{(480 \text{ Н})^2 + (640 \text{ Н})^2} = \sqrt{230400 + 409600} \text{ Н} = \sqrt{640000} \text{ Н} = 800 \text{ Н}$

Ответ: Модуль силы взаимодействия мотоциклиста с сиденьем равен $800 \text{ Н}$.